黎曼函数是什么
黎曼猜想是指：黎曼函数定义在[0，1]上，R(x)=1/q, 当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)，R(x)=0,当x=0，1和(0，1)内的无理数。简介：黎曼函数（Riemann function）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。在部分英文参考文献中，黎曼函数也被称为Thomae's function此函数在微积分中有着重要应用。黎曼函数定义在[0，1]上，R(x)=1/q, 当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)，R(x)=0,当x=0，1和(0，1)内的无理数.性质：定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
关于黎曼函数的具体应用 黎曼函数应用的具体例子,谁可以列举几个
所谓黎曼函数R(x),是定义在区间0~1上的一个构造函数：当x是有理数p/q（p、q为互质整数）时,R(x)=1/q;当x是无理数时,R(x)=0.黎曼函数是由黎曼进行定义,用来作为数学分析中反例说明函数方面的待证性质的.如：黎曼函数在（0,1）内所有无理数点处连续,在所有有理数点处间断.每一点处都存在着极限,且极限都是0（可见间断点都属第一类中的可去间断点）.这个函数在[0,1]上可积,它在[0,1]上的定积分为0,等等.下面将对黎曼函数的间断点是第一类间断点中的可去间断点进行证明.
先证明对于（0,1）中的任意一点a,当x→a时,limR(x)=0,这是因为,对任意正数ε,要使|R(x)-0|>ε成立,x显然不能取为无理数,因为x为无理数时,R(x)=0,不可能让0大于正数ε.而当x为有理数p/q时,R(x)=1/q.而要|R(x)-0|>ε成立,即1/q>ε,q
黎曼猜想被证明了吗？
黎曼猜想至今尚未被成功证明。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，将于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本，但这一证明的正确性尚待验证。起源：黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。以上内容参考：百度百科—— 黎曼猜想
黎曼猜想被证明会怎样
如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理。数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬品。那些建立在黎曼猜想上的推论，可谓是一座根基不稳、摇摇欲坠、令人惶恐不安的大厦。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是世上极为罕有的，也许正是因为这样的关系，黎曼猜想的名气和光环变得更加显著，也越发让人着迷。因而，此次黎曼猜想是否成功证明，将牵一发而动全身，直接影响以黎曼猜想作为前提的数学体系。黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本，但是这一证明并不成立。黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
所有自然数的总和是-1/12是什么意思？
这个问题的关键在于对于发散数列的求和，得到的值和数列的排列顺序有关。比如S1=1-1+1-1....=-1+1-1+1...这里把奇偶位互换。按照上面的逻辑前面等于1/2后面等于-1/2，还有S1=1-S1，其实S1也可以S1=S1+1都说的过去。所有自然数之和无穷大，没有定值。其数学表达式如下：∑N=∞ {N∈[1,∞) }自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。⑤不同元素有不同的后继者。⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。以上内容参考：百度百科-自然数
所有自然数之和=-1/12
自然数总和当然不是-1/12 。这不是实际上的加法，是解析沿拓，把无穷大收敛到(-1,1)的这个范围里，这样本来不能求和的发散级数也能有个解了(不然大家都是无穷大，怎么比较无穷大之间的差距呢)。至于“没有任何意义” 更说不上了，现在使用的电子显微镜，还有使用了量子场论的量子通信等，都用上了解析延拓的方法来处理无穷大问题，很有实际用途，首先，需要证明两个同样的说法：1. 1–1+1–1+1–1 = 1/22. 1-2+3-4+5-6 =1/4这才是真正神奇的地方，事实上，没有这个，其他两个证明是不可能的。我从一个级数A开始，它等于1-1 + 1-1 + 1-1重复了无数次。这样写：A= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1然后做一个小技巧，从1中减去A：1 - A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1)到目前为止都没问题吧？魔法要开始了！如果我化简方程的右边，我得到一个非常奇怪的结果：1 - A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1看起来熟悉吗？在等式的右边，是我们开始时的级数。所以我可以用A代替右边，做一些代数运算，然后，就是见证奇迹的时刻：1- A = A1-A + A = A + A1 = 2A1/2 = A这就是格兰迪的级数，以意大利数学家、哲学家格兰迪的名字命名。这就是这个级数的神奇之处，虽然它是我个人的最爱，但在这背后并没有一个很酷的历史或故事。然而，它确实为证明许多有趣的事情打开了大门，包括一个非常重要的量子力学方程，甚至弦理论。稍后再详细讲。现在，我们开始证明#2：1-2 + 3-4 + 5-6，= 1/4。我们按照上面的方法开始，让B= 1-2 + 3-4 + 5-6然后我们就可以开始玩了。这一次，我们不是用1减去B，而是用A减去B。从数学上讲，我们得到：A-B = (1–1+1–1+1–1) — (1–2+3–4+5–6)A-B = (1–1+1–1+1–1) — 1+2–3+4–5+6然后我们稍微改变一下，我们看到另一个有趣的模式出现了。A-B = (1–1) + (–1+2) +(1–3) + (–1+4) + (1–5) + (–1+6)A-B = 0+1–2+3–4+5再一次，我们得到了开始时的级数，之前，我们知道A = 1/2，所以我们用一些更基本的代数来证明我们今天的第二个。A-B = BA = 2B1/2 = 2B1/4 = B这个方程没有一个花哨的名字，因为它多年来已经被许多数学家证明，同时又被贴上了一个矛盾方程的标签。尽管如此，它还是在当时的学术界引发了一场争论，甚至帮助扩展了欧拉在巴塞尔问题中的研究，并将其引向重要的数学函数，如雷曼泽塔函数。我们更近一步，下面才是你一直期待的。再一次，我们通过C = 1+2+3+4+5+6来开始，你可能已经猜到了，我们将从B中减去C。B-C = (1–2+3–4+5–6)-(1+2+3+4+5+6)我们将重新排列一些数字的顺序，在这里，我们得到的东西看起来很熟悉，但可能不是你怀疑的。B-C = (1-2+3-4+5-6)-1-2-3-4-5-6B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6)B-C = 0-4+0-8+0-12B-C = -4-8-12不是你想要的，对吧？我还有最后一招，我会让你的期待是值得的。如果你注意到，右边的所有项都是-4的倍数，所以我们可以提出这个常数因子，我们得到了开始时的结果。B-C = -4(1+2+3)B-C = -4CB = -3C因为我们已经证明B=1/4的值，我们只要把那个值代入就得到了神奇的结果：1/4 = -3C1/-12 = C这就是20世纪初发现的拉曼努扬求和，它在物理学的许多不同分支上仍然影响了近100年。所有自然数之和是-1/12。
