数列极限的定义
数列极限的定义:数列有极限,即当n趋向无穷大时,数列的项Xn无限趋近于或等于a,任意取一个值ε,是表明无论ε是多小的数,Xn与a的差总小于ε,就是Xn无限趋近于或等于a。看n>N时,注意原话是:……对于任意小的ε,总存在正整数N,使得当n>N时,|Xn-a|<ε,……。这是表明,无论ε多小,当n足够大时,都可以满足|Xn-a|<ε。就是即使ε小到非常小(趋近于0),当n大到足够大的程度(趋向于无穷大)也会满足Xn与a的差小于ε(趋近于0)。扩展:极限存在的条件:单调有界定理 在实数系中,单调有界数列必有极限。 致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想,是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
数列极限的定义
数列极限的定义:对数列{xn},若存在常数a,对于任意ε>0,总存在正整数N,使得当n>N时,|xn-a|<ε成立,那么称a是数列{xn}的极限。证明:对任意的c >0,解不等式| 1/ Vn|=1/ Vn<ε得n>1/ ε2,取N=[1/ ε2]+1。于是,对任意的ε >0, 总存在自然数取N=[1/ ε2]+1。当n>N时,有| 1/n| <ε故1im(n->∞)(1/ J n)=0。数列极限存在的条件:单调有界定理在实数系中,有界的单调有界数列必有极限。致密性定理任何有界数列必有收敛的子列。数列极限的应用:设{Xn},{Zn}为收敛数列,且:当n趋于无穷大时,数列{Xn},{Zn}的极限均为:a.若存在N,使得当n>N时,都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛,且极限为a.适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限,间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。