最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现
最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为 最小二乘法 。 Python运行环境与编辑环境； Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。
正交多项式的简介
正交多项式最简单的例子是勒让德多项式,此外还有雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等，它们在微分方程、函数逼近等研究中都是极有用的工具。设ω(x)是定义在区间【α,b】上的非负可积函数，如果它满足条件，则称 ω(x)为一个权函数。如果定义在[α，b]上的函数 ƒ（x）与g(x)满足等式 ,则称它们在【α,b】上关于权ω(x)是正交的,并称【α,b】为它们的正交区间。对于给定的区间 【α,b】及其上的权函数ω(x)，从幂函数序列出发，可以构造一列多项式： (1)使得pn(x)的次数是n，而且其中任意两个多项式在[α,b]上都关于ω(x)正交,这时称 (1)为在[α,b]上关于权ω(x)的正交多项式系，并称(1)中每一个多项式为正交多项式。如果正交多项式系(1)还满足条件·,则称(1)为在 【α,b】上关于权ω(x)的规范正交多项式系。为了构造(1)，先计算积分,然后记Δ -1=1以及则就是在[α，b]上关于权ω(x)的一个正交多项式系。常记则n(x)的首项系数为1，n(x)的首项系数是正的，而且{n(x)}是在【α，b】上关于权ω(x)的规范正交多项式系。对于同一权函数的正交多项式系虽然很多，但是首项系数为 1的正交多项式系或首项系数为正的规范正交多项式系却是由权ω(x)所惟一确定的。任一n次多项式都可表示为p0(x),p1(x),…,pn(x)的线性组合。pn(x)的零点全部位于(α，b)中,而且pn+1(x)的相邻两个零点间都有pn(x)的一个零点。此外,对于n=0，1,…都有如下的递推公式： (2)式中假设函数ƒ(x)在[α,b]上关于ω(x)平方可积, 即，则称为ƒ关于的傅里叶系数,为ƒ的傅里叶级数。若记这个级数前n+1项之和为Sn(ƒ,x),则对任何次数小于n的多项式q(x)有而且当n→∞时,这个不等式左边所表示的偏差收敛于零。对于任何正交多项式系，都有连续函数使其傅里叶级数不一致收敛。为了研究傅里叶级数的收敛性，常记 称为核。显然。关于核Kn(x,t)有如下的克里斯托费尔-达布公式由此易证:若在点x处有界，而且函数关于权ω（t）平方可积，则Sn(ƒ,x)收敛于ƒ(x)。常用的正交多项式是关于正交的雅可比多项式式中α>-1，β>-1，是给定的实数，对于，有可以算出，此时递推公式(2)中的 α=β的情况比较简单，称作超球多项式。当α=β=0,也即关于权时，相应的正交多项式称作勒让德多项式，它还可表成 当,也即关于权相应的正交多项式称作切比雪夫多项式，它有表达式当，也即关于权，相应的正交多项式称作第二类切比雪夫多项式，它有表达式这些正交多项式的正交区间都是[-1,1]。它们不仅本身有广泛的应用，而且其零点还常作为插值过程的结点。此外,还是二阶线性齐次微分方程 的解。如果讨论的是无限区间【0,+∞),则常考虑以或为权的正交多项式系与，它们依次称作拉盖尔多项式与埃尔米特多项式，其表达式是递推公式是 Ln(x)与Hn(x)还依次满足微分方程
拟合最小二乘法题目求解答
对于这个问题，我们可以看到给出的拟合公式并不是线性方程，那么我们需要先将其化为一般形式
作y' = 1/y，x' = 1/x。原方程就变成了y'=bx'+a，具有线性格式
下面拟合y' = ax' + b ：
x'均值为2.5，y'均值为3.75
Σx=10，Σy=15，Σx^2=30，Σxy=44
则a=(4*44-10*15)/(4*30-100)=1.3，
b = 3.75 - 1.3*2.5 = 0.5
所以 y' = 1.3 x' + 0.5，
即 1/y = 1.3 / x + 0.5 = (1.3 + 0.5 x) / x
两边求倒数可以得到最终结果 y = x / (0.5x + 1.3)
