z变换

z变换性质

z变换性质大多与拉普拉斯变换的性质相似，其与k域有不可分割的关系。复频域（z域）变换的性质大多与拉普拉斯变换的性质相似，其与k域有不可分割的关系。复频域（z域）变换的性质既适用于单边z变换，也适用双边z变换，其性质有九条。其中标出来的性质是比较重要的。Z变换有线性性、序列移位、时域卷积、频移、频域微分等性质。这些性质对于解决实际问题非常有用。其性质均可由正反Z变换的定义式直接推导得到。拉普拉斯：皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（1749年3月23日－1827年3月5日），法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者。1749年生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1812年发表了重要的《概率分析理论》一书，在该书中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审判调查、气象等方面的应用，导入”拉普拉斯变换“等。在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两度获颁爵位。拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。1827年3月5日卒于巴黎。

直接利用Z变换求解

非因果IIR最佳滤波器的标准方程为地球物理信息处理基础利用双边Z变换求解该方程最简单。上式两端取Z变换，立刻解出地球物理信息处理基础若已知互功率谱Psx（z）和自功率谱Pxx（z），即可利用该式求出非因果IIR最佳滤波器的系统函数H（z），它是一个有理函数。假设信号和噪声不相关，即rsv（m）=0，那么Psx（z）=Pss（z）Pxx（z）=Pss（z）+Pvv（z） （2-21）式（2-20）可以写成地球物理信息处理基础由该式可以看出，当噪声为零时，信号全部通过；当信号为零时，噪声全部被抑制，所以，最佳滤波器具有滤除噪声的能力。上述是非因果的情况，那么对于因果IIR最佳滤波器来说，其标准方程为地球物理信息处理基础直接求解该方程是困难的，因为输入信号x（n）与期望信号s（n）的互相关序列只在m≥0取值，故不能直接采用Z变换域方法求解。如有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。注意到，如果滤波器的输入是白噪声，即x（n）=ε（n），这里ε（n）是方差为 的白噪声，那么，由于 ，所以标准方程变为地球物理信息处理基础这样就能很容易求出地球物理信息处理基础由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，问题就可以得到解决。为了能充分理解这种方法的思路，首先，还是针对非因果的最佳滤波器求解。在下一节再回过头来解决因果最佳滤波器的求解问题。

z变换性质

Z变换X（z）的收敛域是z平面上以原点为中心的同心圆环：Rx1<|z|<Rx2。Z变换X（z）的收敛域内不能包含任何极点。Z变换可将时域信号（即离散时间序列）变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，把线性移（时）不变离散系统的时域数学模型——差分方程转换为Z域的代数方程，使离散系统的分析同样得以简化，还可以利用系统函数来分析系统的时域特性、频率响应及稳定性等。历史：在变换理论的研究方面，霍尔维兹于1947年迈出了第一步，他首先引进了一个变换用于对离散序列的处理。在此基础上，崔普金于1949年、拉格兹尼和扎德（R.Ragazzini和LA. Zadeh）于1952年，分别提出和定义了Z变换方法，大大简化了运算步骤，并在此基础上发展起脉冲控制系统理论。由于Z变换只能反映脉冲系统在采样点的运动规律，崔普金、巴克尔（R.H. Barker）和朱利（EIJury）又分别于1950年、1951年和1956年提出了广义Z变换和修正Z变换（modified Z-transformation）的方法。

求Z变换，要求具体的过程

Z变换（Z-transformation）， 是对离散序列进行的一种数学变换。常用以求线性时不变差分方程的解。它在离散时间系统中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的地位。这一方法 ( 即离散时间信号的Z变换)已成为分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具。在数字信号处理、计算机控制系统等领域有广泛的应用。
离散时间序列 x(n) 的Z变换定义为X(z)＝Σx(n)z-n ，式

中z＝e，σ为实变数，ω为实变量，j＝，所以z是一个幅度为eб，相位为ω的复变量。x(n)和X(z)构成一个Z变换时 。Z变换有如下性质：线性、移位、时域卷积、求和、频移、调制 、微分以及乘 an 。 这些性质对于解决实际问题非常有用 。 已知Z变换X(z)求对应的离散时间序列称为Z变换的逆变换 。

z变换的性质

Z变换（ZT）是对离散序列进行的一种数学变换，常用于求线性时不变差分方程的解，它在离散系统中的地位如同拉普拉斯变换在连续系统中的地位，Z变换已成为分析线性时不变离散系统问题的重要工具，并且在数字信号处理 、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。双边变换： \begin{align} X(z)=\mathcal{Z}\left\{ x[n]\right\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \end{align}。单边变换： \begin{align} X(z)=\mathcal{Z}\left\{ x[n]\right\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n} \end{align}。由信号与系统(4)——离散时间傅里叶变换中讲解的DTFT的表达式：\begin{align} X(e^{jw})&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn} \end{align}可以得到Z变换与DTFT之间的关系，即X(e^{jw})=X(z)|_{z=e^{jw}}故DTFT是单位圆上的Z变换！