错位相减

时间:2024-03-31 03:08:34编辑:奇事君

错位相减法是什么方法?

错位相减法是数列求和的一种解题方法。在题目的类型中:一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。形如An=BnCn,其中{Bn}为等差数列,通项公式为bn=b1+(n-1)*d;{Cn}为等比数列,通项公式为cn=c1*q^(n-1);对数列An进行求和,首先列出Sn,记为式(1);再把所有式子同时乘以等比数列的公比q,即q·Sn,记为式(2);然后错开一位,将式(1)与式(2)作差,对从而简化对数列An的求和。这种数列求和方法叫做错位相减法。扩展资料数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。求Sn实质上是求{Sn}的通项公式,应注意对其含义的理解。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要有一定的技巧。参考资料来源:百度百科——错位相减法参考资料来源:百度百科——数列求和

错位相减法用于什么情况?

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列;分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn;然后错一位,两式相减即可。  
  例如,求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)(x≠0)
  当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2;
  当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1);
  ∴xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x^4+…+(2n-1)*x^n;
  两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2;+x^3;+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n;
  化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
  Sn=
1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
  两边同时乘以1/2
  1/2Sn=
1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)
  两式相减
  1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
  Sn=1-1/2^n
  错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中:一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子(格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式):
  S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan
(1)
  在(1)的左右两边同时乘上a。
得到等式(2)如下:
  aS=
a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1
(2)
  用(1)—(2),得到等式(3)如下:
  (1-a)S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1
(3)
  (1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
  S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
  (1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
  最后在等式两边同时除以(1-a),就可以得到S的通用公式了。
  例子:求和Sn=3x+5x^2;+7x^3;+……..+(2n-1)·x的n-1次方(x不等于0)
  解:当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n^2;;
  当x不等于1时,Sn=3x+5x^2;+7x^3;;+……..+(2n-1)·x的n-1次方
  所以xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方
  所以两式相减的(1-x)Sn=1+2x(1+x+x^2;;+x^3;;+...+x的n-2次方)-(2n-1)·x的n次方。
  化简得:Sn=(2n-1)·x地n+1次方
-(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方
  Cn=(2n+1)*2^n
  Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
  2Sn=
3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
  两式相减得
  -Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
  =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
  =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1)
(等比数列求和)
  =(1-2n)*2^(n+1)-2
  所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
  错位相减法
  这个在求等比数列求和公式时就用了
  Sn=
1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
  两边同时乘以1/2
  1/2Sn=
1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)
  两式相减
  1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
  Sn=1-1/2^n


错位相减为什么叫错位相减法?

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列;分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn;然后错一位,两式相减即可。  
  例如,求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)(x≠0)
  当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2;
  当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1);
  ∴xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x^4+…+(2n-1)*x^n;
  两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2;+x^3;+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n;
  化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
  Sn=
1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
  两边同时乘以1/2
  1/2Sn=
1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)
  两式相减
  1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
  Sn=1-1/2^n
  错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中:一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子(格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式):
  S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan
(1)
  在(1)的左右两边同时乘上a。
得到等式(2)如下:
  aS=
a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1
(2)
  用(1)—(2),得到等式(3)如下:
  (1-a)S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1
(3)
  (1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
  S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
  (1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
  最后在等式两边同时除以(1-a),就可以得到S的通用公式了。
  例子:求和Sn=3x+5x^2;+7x^3;+……..+(2n-1)·x的n-1次方(x不等于0)
  解:当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n^2;;
  当x不等于1时,Sn=3x+5x^2;+7x^3;;+……..+(2n-1)·x的n-1次方
  所以xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方
  所以两式相减的(1-x)Sn=1+2x(1+x+x^2;;+x^3;;+...+x的n-2次方)-(2n-1)·x的n次方。
  化简得:Sn=(2n-1)·x地n+1次方
-(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方
  Cn=(2n+1)*2^n
  Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
  2Sn=
3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
  两式相减得
  -Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
  =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
  =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1)
(等比数列求和)
  =(1-2n)*2^(n+1)-2
  所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
  错位相减法
  这个在求等比数列求和公式时就用了
  Sn=
1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
  两边同时乘以1/2
  1/2Sn=
1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)
  两式相减
  1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
  Sn=1-1/2^n


错位相减法是什么意思啊?

错位相减法是一种计算两个多位数之间的差的方法,其核心思想是将被减数和减数的每一位数字对齐,并依次相减得到结果。错位相减法的万能公式如下:

设被减数为A,减数为B,A、B均为n位数,则它们的差为:A-B = (d1-d2)10^(n-1) + (d3-d4)10^(n-2) + ... + (dn-1-dn)

其中,di表示A和B在同一位上的数码,即A的第i位数码为di,B的第i位数码为di。如果某一位出现了借位,需要向高位借位,并在高位继续计算。

需要注意的是,错位相减法的应用范围较窄,仅适用于大数值相减,而且需要保证被减数大于减数。在进行计算过程中,也需要注意对于借位和进位的处理,理解清楚每一步的具体计算过程。


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