托勒密定理的证明是什么？
圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。
托勒密定理的证明
托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。证明：（1）如下图所示。不妨设∠ACB大于∠ACD（其实也无所谓，见下图图2，先不用管它）。于是，在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（图(1)中的红色角）。又由于∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），所以三角形ACD与BCE相似。于是有AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE（称为1式）。（2）同理，如上图图(2)所示，三角形CDE与ABC相似。从而有CD : AC = DE : AB，即AB·CD=AC·DE（称为2式）。（3）1式加上2式，即得AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD。即AC·BD=AB·CD+AD·BC证毕。扩展资料推广托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD推论1、任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2、托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。参考资料来源：百度百科-托勒密定理
百度百科对托勒密定理的描述中，“所包矩形”是什么意思啊？求大神赐教🙏
您好。所包矩形的面积就是指：以这两条线段的长为邻边的矩形的面积.
定理内容用几何语言来表达就是：
如果四边形ABCD内接于⊙O,那么就有：AC×BD＝AB×CD+AD×BC【摘要】
百度百科对托勒密定理的描述中，“所包矩形”是什么意思啊？求大神赐教🙏【提问】
您好。所包矩形的面积就是指：以这两条线段的长为邻边的矩形的面积.
定理内容用几何语言来表达就是：
如果四边形ABCD内接于⊙O,那么就有：AC×BD＝AB×CD+AD×BC【回答】
所以所包矩形，您明白了吗。【回答】
明白了[赞同]，就是不明白这个定理的描述把矩形扯进来干嘛[捂脸]【提问】
这个定理的内容就是这样，用这种方式表达出来，其他方式表达会更复杂吧。😁【回答】
