矩阵论、 矩阵理论、 矩阵分析三者有何区别？
包含内容不同：1、矩阵论：线性空间与线性算子，内积空间与等积变换，λ矩陈与若尔当标准形，赋范线性空间与矩阵范数，矩阵的微积分运算及其应用，广义逆矩阵及其应用，矩阵的分解，矩阵的克罗内克积，阿达马积与反积；几类特殊矩阵，如：非负矩阵与正矩阵、循环矩阵与素矩阵、随机矩阵和双随机矩阵、单调矩阵、M矩阵与H矩阵、T矩阵与汉大象尔矩阵等，辛空间与辛矩阵等内容。2、矩阵理论：线性空间与线性变换、内积空间与等距变换、特征值与特征向量、λ-矩阵与Jordan标准形、特殊矩阵、矩阵分析初步、矩阵函数的应用、矩阵的分解、非负矩阵、矩阵的广义逆、Kronecker积。3、矩阵分析：特征值、特征向量和相似性，酉等价和正规矩阵，标准形，Hermite矩阵和对称矩阵，向量范数和矩阵范数，特征值和估计和扰动，正定矩阵，非负矩阵。适用范围不同：1、矩阵论：学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。2、矩阵理论：适合工科研究生及从事工程的专业技术人员。3、矩阵分析：可为工程、统计、经济学等专业的研究生和数学专业高年级本科生提供相应知识，也可丰富数学工作者和科技人员的专业素养。
矩阵理论
与 全部线性组合构成的向量集合称为“张成的空间” （span）
线性无关：对于a和b取所有值都有
基的严格定义：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集
线性变换是操纵空间的一种手段，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动。这种变换可以用把变换后的基做为列向量所构成的矩阵来表示。
将矩阵相乘看作是对空间进行复合线性变换，即两个变换相继作用 。
秩代表变换后空间的维数
矩阵的列张成的空间就是列空间，秩是列空间的维数
列空间让我们清楚什么时候解存在，零空间有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的
变换后落在原点的向量的集合被称为矩阵的“零空间”或“核”
点积： 投影
点积的投影可以看成一种线性变换
叉积：
基坐标的转换
M代表我所见变换，外侧两个矩阵代表着转移作用，也就是视角上的转换。矩阵乘积仍然代表着同一个变换，只不过是从其他人的角度来看的。
特征值与特征向量
对角矩阵的解读：所有基向量都是特征向量，矩阵的对角元是它们所属的特征值
之所以把矩阵变换为对角矩阵，是因为在该矩阵的特征基上，只进行尺度变换，可以减少运算量。
行列式告诉你的是一个变换对面积的缩放比例，特征向量则是在变换中留在它所张成的空间中的向量。
线性变换：
矩阵分析 (一) 线性空间和线性变换
我们曾在线性代数里学过向量空间，它是由向量做成的集合。在这个集合里向量可以相加，向量可以乘以一个倍数，由此我们可以讨论向量的线性组合、向量的线性相关等概念。 如果上述运算满足以下规则，则称 为数域 上的 线性空间 。 中的元素也称为向量。 解： 令其对应项相等即可。 一般来说，一个元素在不同的基底下有不同的坐标，它们的坐标有什么关系呢？ 设 是 上的 维线性空间， ， ， ， 和 ， ， ， 是 的两个 不同的基底 ，因为 ， ， ， 是基底，所以 ， ， ， 可以被这个基底线性表达，这两个基底的关系是： 利用 过渡矩阵 就可以得到这个元素的两个坐标之间的关系： 我们知道三维线性空间 的二维平面 也是一个线性空间，这种类型的空间叫作 子空间 。 这个子空间叫做 和 的 和子空间 。 由两个子空间 ， 生成的子空间的维数 , 与原来的子空间的维数之间有一个关系，称之为 维数定理 ，即： 这个几个概念比较重要，需要记住。 则称 为 上的 线性变换 。线性变换保持 上的运算。 上面这个线性变换的公式需要记住，经常会考这个改变以及以下变种。比如下文的线性变换的矩阵的公式： 由： 能得到： 这时如果知道： 即可求出： 等于： 等于： 可以证明，线性空间中的所有线性变换也做成一个线性空间，记作 像子空间 是由 中所有元素的像构成的，即任取 ，则一定存在 ，使得 。 核子空间 是由所有 中的一些元素构成的，这些元素在线性变换的作用下是零。 上的所有线性变换构成的子空间是一个比较抽象的空间，我们知道一些具体的线性变换，但是任意一个线性变换是什么样子的，怎么表达呢？ 设 ， 可以看出，决定线性变换结果的是： 即基底在这个线性变换之下变成了什么形式。 因为 ，仍然是 中的元素，当然可以被 的基底表达： 为线性变换 在基底 下的矩阵。 可见每一个 线性变换实际上与一个矩阵相对应 ，反过来，每一个矩阵也对应一个线性变换，即给定一个矩阵 ,只要定义： 则这个矩阵对应一个线性变换。
矩阵论：线性空间
仅按我的理解来说：
所谓的线性空间，不过是一些线性子的排列
每一个线性子都是一个维度
从下图可以发现一些规律。
每一种量都含有数目不同的这样的单元。
所以完全可以从最简单的线性子开始，这也是最本质的单元。
N维线性空间就有N个这样的线性子。
其形式可能很复杂，但都可以化成独立的线性子。
考虑一维线性空间，其实就是数集，只要满足那些判定条件。
实数集肯定是符合的，不过又不太合适，因为实数集上的运算有很多，加减乘除，乘方开方，这就远远超出了线性空间的范围。
虽然感觉还有很多可说的，不过还是就此打住，有个直观印象就可以了。
总结：线性空间可以有很多种类，其本质就在于最小的那个线性子上，也就是数集上的线性运算，高维的线性空间就是由它堆砌起来的，矩阵自然也不例外，这些并不复杂。
真正复杂的地方在于这些本该独立的线性子被人为的建立了联系，牵一发而动全身，改变一个量，有哪些量跟着改变了？分别改变了多少？要搞懂这些就不容易了。
矩阵分析（一）线性空间
线性空间是定义在数域 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域，再讲线性空间
什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（举有封闭性），称为数域。如，有理数域 ，复数域 ，实数域
线性空间的定义：
注：
简单点说，上述 8 条，只要有任意一条不满足，则 就不是数域 上的线性空间（线性空间中的元素叫向量）
是数域，判断 是否为数域 上的线性空间
解：判断是否线性空间，只需要证明集合 在数域 上是否满足上述 8 条。这里明显满足条件，因此 是数域 上的线性空间
表示所有正实数集合，在 中定义加法 与数量乘法 分别为
判断 是否构成实数域 上的线性空间
解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此 是实数域 上的线性空间
设 是由系数在实数域 上，次数为 的 次多项式 构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规定，举例说明 不是 上的线性空间
证略
