热扩散方程的基础是什么
老胡说科学7.4万粉丝关注热方程——数学物理学的基本方程之一，理解其背后的直觉老胡说科学2021-10-14 07:06优质科学领域创作者关注在数学物理学中，有三个基本方程：热、波和拉普拉斯方程。这三个方程都是含有偏导数的微分方程，在物理学和工程学中都有许多应用。但是，这些数学上的方程在直观上表达了什么？在这篇文章中，我们将深入探讨第一个方程，即热方程。铁棒的问题假设有一根铁棒，我们知道热量在某一特定时间点是如何在铁棒上分布的，也就是说，我们知道它的每一个点的温度是多少。我们感兴趣的是以下问题：热量分布将如何随时间变化？正如我们在中学所学的，热量倾向于从温度较高的地方流向温度较低的地方传播。因此，我们实际上要做的是找到一个描述这一变化过程的方程式。当然，每当我们想模拟一个涉及 "变化 "的过程时，就会倾向于使用偏导数。想象问题中的一维棒位于X轴上，那么描述其热分布如何随时间变化的微分方程如下：其中α是一个比例常，而T=T(x,t)是一个函数，提供了杆子上位于坐标 "x "的任何一点在时间 "t "上的温度。现在，让我们试着用直觉、逻辑思维和一些基本的数学知识来推导它。
扩散方程最早是由谁发现并求解出来的
扩散方程是一类偏微分方程, 用来描述扩散现象中的物质密度的变化. 通常也用来和扩散类似的现象, 例如在群体遗传学中等位基因在群体中的扩散.
扩散方程通常写作:
\frac{\partial\phi(\vec{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \bigg( D(\phi,\vec{r}) \, \nabla\phi(\vec{r},t) \bigg),
其中 \, \phi(\vec{r},t) 是扩散中的物质在t时刻,位于\vec{r}处的密度; \, D(\phi,\vec{r})是密度\phi在\vec{r}处的扩散系数.
如果滤波系数依赖于密度那么方程是非线性的, 否则是线性的. 如果\, D是常数, 那么方程退化为下面的线性方程(热传导方程):
\frac{\partial\phi(\vec{r},t)}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\vec{r},t),
更一般的, 当D是对称正定矩阵时, 方程描述的是各向异性扩散。此时方程的三维形式是:
\frac{\partial\phi(\vec{r},t)}{\partial t} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left(D_{ij}(\phi,\vec{r})\frac{\partial \phi(\vec{r},t)}{\partial x_j}\right)
热扩散方程是一个公式吗？还是有什么具体的描述？
α=λ/ρc
α称为热扩散率或热扩散系数（thermal diffusivity），单位m^2/s.
式中：
λ:导热系数，单位W/m·K；
ρ：密度，单位Kg/m^3
c：热容，单位J/Kg·K.
物理意义
以物体受热升温的情况为例来分析。在物体受热升温的非稳态导热过程中，进入物体的热量沿途不断地被吸收而使当地温度升高，在此过程持续到物体内部各点温度全部扯平为止。由热扩散率的定义α=λ/ρc 可知：
（1） 物体的导热系数λ越大，在相同的温度梯度下可以传导更多的热量。
（2） 分母ρc是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。ρc 越小，温度升高1℃所吸收的热量越小，可以剩下更多热量继续向物体内部传递，能使物体各点的温度更快地随界面温度的升高而升高。
热扩散率α是λ与1/ρc两个因子的结合。α越大，表示物体内部温度扯平的能力越大，因此而有热扩散率的名称。这种物理上的意义还可以从另一个角度来加以说明，即从温度的角度看，α越大，材料中温度变化传播的越迅速。可见α也是材料传播温度变化能力大小的指标，因而有导温系数之称。
