公考行测: 数学运算解题方法之排列组合问题
排列组合问题是公务员考试当中必考题型,题量一般在一到两道,近年国考这部分题型的难度逐渐在加大,解题方法也越来越多样化,所以在掌握了基本方法原理的基础上,还要求我们熟悉主要解题思想。那首先什么排列、组合呢?
排列:从n个不同元素中,任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合:从n个不同元素种取出m个元素拼成一组,称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
解答排列组合问题,首先必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题,其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析,同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。
解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。下面通过例题逐个掌握:
一、相邻问题---捆绑法 不邻问题---插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
【例题1】一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法?
A.20 B.12 C.6 D.4
【答案】A。
【解析】首先,从题中之3个节目固定,固有四个空。所以一、两个新节目相邻的的时候:把它们捆在一起,看成一个节目,此时注意:捆在一起的这两个节目本身也有顺序,所以有:C(4,1)×2=4×2=8种方法。二、两个节目不相邻的时候:此时将两个节目直接插空有:A(4,2)=12种方法。综上所述,共有12+8=20种。
二、插板法
一般解决相同元素分配问题,而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零),只对分成的份数有要求。
【例题2】把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法?
A.190 B.171 C.153 D.19
【答案】B。
【解析】此题的想法即是插板思想:在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板,这样即把其分成18份,那么共有: C(19,17)=C(19,2)=171 种。
三、特殊位置和特殊元素优先法
对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。
【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力,甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种?
A.120 B.240 C.180 D.60
【答案】B。
【解析】方法一:特殊位置优先法:首先填充第一棒,第一棒共有5个元素可供选择,其次第4棒则有4个元素可以选择;然后第2棒则有4个元素可以选择,第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。
方法二:特殊元素优先法:首先考虑甲元素的位置
第一类,甲不参赛有A(5,4)=120种排法;
第二类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有2种排法;其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法,故有2×60=120种方案。
所以有120+120=240种参赛方案。
四、逆向考虑法
对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题,我们就要学会间接的方法。
正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体?
A.70 B.64 C.61 D.58
【答案】D。
【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数,共C(8,4)-12=70-12=58个。
五、分类法
解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
【例题3】五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有
A.120种 B.96种 C.78种 D.72种
【答案】C。
【解析】由题意可先安排甲,并按其分类讨论:1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有A (4,4)=24种排法;2)若甲在第二,三,四位上,则有3×3×3×2×1=54种排法,由分类计数原理,排法共有24+54=78种,选C。
专家点评:解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。解决一道排列、组合提的方法很多,但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。这就要求我们准确掌握各种解题方法,能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。
下面我们为考生准备5道习题,请考生们注意选择最合适的解题方法。
1、丙丁四个人站成一排,已知:甲不站在第一位,乙不站在第二位,丙不站在第三位,丁不站在第四位,则所有可能的站法数为多少种?
A.6 B.12 C.9 D.24
2、马路上有编号为l,2,3,……,10 十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种?
A.60 B.20 C.36 D.45
3、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,可组成多少个不同的四位数?
A .300 B.360 C.120 D.240
4、10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?
A.45 B.36 C.9 D.30
5、六人站成一排,求甲不在排头,乙不在排尾的排列数?
A.120 B.64 C.124 D.136
1、【解答】C。能站在第一位,因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。
如果甲站在第二位,则共有三种可能:乙甲丁丙,丙甲丁乙,丁甲丙乙
如果甲站在第三位,则共有三种可能,乙丁甲丙,丙丁甲乙,丁丙甲乙
如果甲站在第四位,则共有三种可能,乙丙丁甲,丙丁乙甲,丁丙乙甲
因此一共有9种可能
2、【解答】B。关掉的灯不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别,因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。所以共C(6,3)=20种方法。
3、【解答】A。排除法解P(6,4)-P(5,3)个=300个
4、【解答】B。把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9,7)=36种。
5、【解答】D。先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类。
第一类:乙在排头,有A(5,5)种站法。
第二类:乙不在排头,当然他也不能在排尾,有C(4,1)×(4,1)×(4,4)种站法,故共有136种站法。
公务员考试行测辅导:数学运算中的排列组合问题
排列组合问题作为数学运算中相对独立的一块,在公务员考试中的出场率颇高,题量一般在一到两道,近年国考这部分题型的难度逐渐在加大,解题方法也越来越多样化,所以在掌握了基本方法原理的基础上,还要求我们熟悉主要解题思想。
【基本原理】
加法原理:完成一件事,有N种不同的途径,而每种途径又有多种可能方法。那么,完成这件事就需要把这些种可能的做法加起来; 乘法原理: 完成一件事需要n个步骤,每一步分别有m1,m2,…,mn种做法。那么完成这件事就需要::m1×m2×…×mn种不同方法。
【排列与组合】
排列:从n个不同元素中,任取m( )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合:从n个不同元素种取出m( )个元素拼成一组,称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合
【排列和组合的区别】
组合是从n个不同的元素种选出m个元素,有多少种不同的选法。只是把m个元素选出来,而不考虑选出来的这些元素的顺序;而排列不光要选出来,还要把选出来的元素按顺序排上,也就是要考虑选出元素的顺序。所以从这个角度上说,组合数一定不大于排列数。
【特殊解题方法】
解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法:插空法,插板法。以下逐个说明:
(一).插空法
这类问题一般具有以下特点:题目中有相对位置不变的元素,不妨称之为固定元素,也有相对位置有变化的元素,称之为活动元素,而要求我们做的就是把这些活动元素插到固定元素形成的空中。举例说明:
例题1 :一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法?
(2008国家行测) A.20 B.12 C.6 D.4
解法1:这里的“固定元素”有3个,“活动元素”有两个,但需要注意的是,活动元素本身的顺序问题,在此题中: 1).当两个新节目挨着的时候:把这两个挨着的新节目看成一个(相当于把它们捆在一起,注意:捆在一起的这两个节目本身也有顺序)放到“固定元素”形成的空中,有:C41×2=8 种方法。 2).当两个节目不挨着的时候:此时变成一个排列问题,即从四个空中任意选出两个按顺序放两个不同的节目,有:P42=12种方法。 综上所述,共有12+8=20种。
解法2:分部解决。1)可以先插入一个节目,有4种办法; 2)然后再插入另一个节目,这时第一次插入的节目也变成“固定元素”故共有5个空可供选择; 应用乘法原理:4×5=20种
例题2. 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
A.54 B.64 C.57 D.37
解法一:列表解题,第四个数=第一个数+第二个数。 台阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
走法 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37
解法二:插空法解题:考虑走3级台阶的次数:
1)有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法;
2)有1次走三级台阶。(不可能完成任务);
3)有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶:
(a)两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,有C61=6种走法;
(b)两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,有C62=15种走法。
4)有3次(不可能)
5)有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有C51+C52=15种走法;
6)有5次(不可能) 故总共有:1+6+15+15=37种。
(二). 插板法: 一般解决相同元素分配问题,而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零),只对分成的份数有要求。
举例说明: 例题1. 把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法? 解析: 此题的想法即是插板思想:在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板,这样即把其分成18份,那么共有:
C1917=C192=171 种。 Eg2。有10片药,每天至少吃1粒,直到吃完,共有多少种不同吃法?
解法1:1天吃完:有C90=1种; 2天吃完:有C91=9种; …… 10天吃完:有C99=1种; 故共有:C90+C91+…+C99=(1+1)9=512种。
解法2:10台电脑内部9个空,每个孔都可以选择插板或者不插板,即每个孔有两种选择,共有9个空,共有29=512种。 这里只讨论了排列组合中相对比较特殊的两种方法,至于其它问题可参见中公网的其它书籍,这里不再赘述。
【排列组合在其他题型中的应用】
例题.学校准备了1152块正方形彩板,用它们拼成一个长方形,有多少种不同的拼法?
A.52 B.36 C.28 D.12
解法一:本题实际上是想把1152分解成两个数的积,则1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36,故有12种不同的拼法。
解法二:(用排列组合知识求解)
由1152=27×32,那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分,当分配好时,那么长方形的长和宽也就固定了。
具体地: 1)当2个3在一起的时候,有8种分配方法(从后面有0个2一直到7个2); 2)当两个3不在一起时,有4种分配方法,分别是一个3后有0,1,2,3个2。故共有8+4=12种。
解法三:若1152=27×32,那么1152的所有乘积为1152因数的个数为(7+1)×(2+1)=24个,每两个一组,故共有24÷2=12组。
排列组合问题
1、你这样的计算方法实际上有重复计算的成分,设英语翻译员为集合a,日语翻译员为集合b,双语翻译员为集合c,C(7,4)*C(4,4),C(6,4)*C(5,4)和C(5,4)*C(6,4)中实际上都包括了从a中选4个从b中选4个的组合数。因此需要分情况分别计算:
不从集合c中选人:C(5,4)*C(4,4)=5
从集合c中选一人:C(2,1)*C(5,3)*C(4,4)(选一人翻译英语)+C(2,1)*C(5,4)*C(4,3)(选一人翻译日语)=60
从集合c中选2人:C(2,2)*C(5,2)*C(4,4)(选两人翻译英语)+C(2,2)*C(5,4)*C(4,2)(选两人翻译日语)+C(2,1)*C(5,3)*C(4,3)(选一人翻译英语一人翻译日语)=120
然后将以上三种情况的组合数相加即可,为185。
2、分堆问题,设元素的总数为m,要分成分别包含a1、a2、a3...an个元素的n堆,在不对这n堆进行排列的情况下,不同分堆策略可能性共有C(m,a1)*C(m-a1,a2)*C(m-a1-a2,a3)...*C(m-a1-a2-...-a(n-1),an)/A(n,n)种。
3、4个人去3个房间,要看题目设置的条件如何。
如果条件是每间房间内至少需要有一个人,则4个人只能分成1、1、2的组合,分组的可能性为C(4,2),然后分配到3个房间中,即需进行A(3,3)的排列,故有C(4,2)*A(3,3)=36种可能性。
如果房间内可以一个人都没有,则需要分情况讨论:(1)4个人只在一间房内,显然只有A(3,1)=3种情况;(2)4个人在两间房内,则有2、2和1、3两种分法,2、2分法有C(4,2)*A(3,2)/2=18种情况,而1、3分法有C(4,1)*A(3,2)=24种情况;(3)4个人在三间房内,由上可知有C(4,2)*A(3,3)=36种情况;故而总共有81种不同情况。
10个人里挑4个人共有C(10,4)种情况,再对应到4个节目有A(4,4)种情况,故而总排列数为A(10,4)=5040。
排列组合问题
1、首先从第一个盒子里取出一个球,有n种可能颜色,而后面的就与前面是一们的颜色,既后面三个盒子的取法都只有一种,其概率为
n*1*1*1/(n*n*n*n)=1/n^3;
2、首先选择三个盒子取颜色一样的球,有C 4 3种即4种方式,第一个盒子有n种可能颜色,后两个都与它一样,才一种,而与它们颜色不一样的则从剩下的(n-1)种颜色中先一样,即其概率为
4*n*1*1(n-1)/(n*n*n*n)=4(n-1)/n^3;
3、先选二个盒子取颜色相同的球,有C 4 2种即6种方式,再选颜色,第一个有n种,第二个1种。第三个盒子从剩下的(n-1)种颜色中选一种,即有(n-1)种可能。第四个盒子再从剩下的(n-2)种颜色中先一种,有(n-2)种可能。
6*n*1*(n-1)(n-2)/n^4=6(n-1)(n-2)/n^3;
同样的方式分析计算下面的题:
4、6*n*1*(n-1)*1/n^4=6(n-1)/n^3;
5、n*(n-1)(n-2)(n-3)/n^4=(n-1)(n-2)(n-3)/n^3;