魏尔斯特拉斯函数

魏尔斯特拉斯函数的介绍

在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。

证明魏尔斯特拉斯函数?简洁些

由于无穷级数的每一个函数项a^n \cos(b^n \pi x)的绝对值都小于常数a^n,而正项级数 \sum_{n=0} ^\infty a^n 是[[收敛]]的.由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛.因此,由于每一个函数项a^n \cos(b^n \pi x)都是{\mathbb R}上的连续函数,级数和f(x) 也是{\mathbb R}上的连续函数.
　　下面证明函数处处不可导：对一个给定的点x \in {\mathbb R},证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(x_n) 和 (x'_n),使得
　　:\lim \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.
　　这与函数可导的定义矛盾,于是证明完毕

可导函数的四则运算后是否仍可导

连续函数四则运算后不一定是连续函数了，比如分母可能为0，产生断点
比如f(x)=sinx,
g(x)=cosx都是r上的连续函数，但两者相除为tanx,
有无穷多个断点。
可导函数四则运算后，除了那些断点外，仍是可导函数，因为有：
(u+v)'=u'+v'
(u-v)'=u'-v'
(uv)'=u'v+uv'
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

求举例 一个函数在（a,b）可导，但导数不连续 还有导数为+∞算可导么？

（1）在某点可导，那么在该点的左导数和右导数必须相等，如果在某点导数不连续，那么说明该点是导数的可去间断点，考虑函数f(x) = ∫ sint / t dt 积分限取为[-Pi,x]，那么f'(x) = sinx/x在x=0出导数不连续，但是却是可导点。
（2）+∞不算可导，例如维尔斯特拉斯函数，他上面任意一点的导数都是无穷大的，也就是处处不可导。

卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯的介绍

卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯，德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他引进了一致收敛的概念，并由此阐明了函数项级数的逐项微分和逐项积分定理。在建立分析基础的过程中，引进了实数轴和n维欧氏空间中一系列的拓扑概念，并将黎曼积分推广到在一个可数集上的不连续函数之上。1872年，魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由此引出了一系列诸如皮亚诺曲线等反常性态的函数的研究。希尔伯特对他的评价是：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。

卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯的人物生平

父亲威廉·魏尔斯特拉斯是受法国雇佣的海关职员，威廉在家里十分严厉而且专断。14岁卡尔进附近帕德博恩城的一所天主教预科学校学习，在那里学习德语、拉丁语、希腊语和数学。中学毕业时成绩优秀，共获7项奖，其中包括数学，但不容卡尔有半句分辩，他的父亲却把他送到波恩大学去学习法律和商业，希望他将来在普鲁士民政部当一名文官。魏尔斯特拉斯对商业和法律都毫无兴趣。在波恩大学他把相当一部分时间花在自学他所喜欢的数学上，攻读了包括拉普拉斯的《天体力学》在内的一些名著。他在波恩的另一部分时间则花在了击剑上。魏尔斯特拉斯体魄魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人心目中的击剑明星。这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到。这使他父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被送到明斯特去准备教师资格考试。1841年，他正式通过了教师资格考试。在这期间，他的数学老师居德曼认识到他的才能。居德曼（C.Gudermann）是一位椭圆函数论专家，他的椭圆函数论给了魏尔斯特拉斯很大影响，魏尔斯特拉斯为通过教师资格考试而提交的一篇论文的主题就是求椭圆函数的幂级数展开。居德曼在这篇论文的评语中写道：“论文显示了一位难得的数学人才，只要不被埋没荒废，一定会对科学的进步作出贡献”。居德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特拉斯在获得中学教师资格后开始了漫长的中学教师生活。他在两处偏僻的地方中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚至体育和书法课，而所得薪金连进行科学通信的邮资都付不起。但魏尔斯特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重的生活。他白天教课，晚上攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文。其中有少数发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物“教学简介”上，但正如魏尔斯特拉斯后来的学生、瑞典数学家米塔。列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数学论文”。不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了他一生数学创造的基础。而且，这一段当时看起来默默无闻的生活，其实蕴含着巨大的力量——这就不得不提到魏尔斯特拉斯一个最大的特点：他不仅是一位伟大的数学家，而且是一位杰出的教育家！他是如此热爱教育事业，如此爱护他的学生，以致先不要提他日后培养出的一大批有成就的数学人才（其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡娅（1850.1.15-1891.2.10，俄国女数学家、作家、政论家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，Hermann Amandus，1843.1.25-1921.11.30，法国数学家）、I.L.富克斯（Fuchs，Immanuel Lazarus，1833.5.5-1902.4.26，法国数学家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，Magnus Gustaf，1846.3.16-1927.7.7，瑞典数学家）、F.H.朔特基（Schottky，Friedrich Hermann，1851.7.24-1935.8.12，法国数学家）、L.柯尼希贝格（Konigsberger，Leo，1837.10.15-1921.12.15，法国数学家）等。 ），即便是在这偏僻的中学当预科班的数学老师的时候，他为了能够让自己的学生们更好地理解微积分中最重要的极限概念，而改变了柯西等人当时对极限的定义，创造了著名的、直到今天大学数学分析教科书中一直沿用的极限的ε-δ定义，以及完整的一套类似的表示法，使得数学分析的叙述终于达到了真正的精确化。一直到1853年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克雷尔主办的《纯粹与应用数学杂志》（常常简称《数学杂志》），这才使他时来运转。克雷尔的杂志素以向有创造力的年青数学家开放而著称。阿贝尔的论文在受到柯西等名家冷落的情况下却被克雷尔杂志在1827年刊登出来；雅可比的椭圆函数论论文、格林的位势论论文等数学史上的重要文献，也都是在别处得不到发表而在克雷尔的帮助下用他的杂志发表的。这一次克雷尔又出场了。他接受了魏尔斯特拉斯的论文并在第二年就发表出来，随即引起了轰动。哥尼斯堡大学一位数学教授亲自到魏尔斯特拉斯当时任教的布伦斯堡中学向他颁发了哥尼斯堡大学博士学位证书。普鲁士教育部宣布晋升魏尔斯特拉斯，并给了他一年假期带职从事研究。此后，他再也没有回到布伦斯堡。1856年，也就是他当了15年中学教师后，魏尔斯特拉斯被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选进柏林科学院。他后来又转到柏林大学任教授直到去世。