小波分析

小波分析原理

小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。
小波函数源于多分辨分析，其基本思想是将扩中的函数f(t)表示为一系列逐次逼近表达式, 其中每一个都是f(t)动经过平滑后的形式，它们分别对应不同的分辨率。多分辨分析又称多尺度分析，是建立在函数空间概念基础上的理论，其思想的形成来源于工程。创建者Mallat .S是在研究图像处理问题时建立这套理论的。当时人们研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信息。Meyer正交小波基的提出，使得Mallat想到是否用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不同尺度间的“ 信息增量” 。这种思想导致了多分辨分析理论的建立。MRA不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。其思想又同多采样率滤波器组不谋而合，使我们又可将小波变换同数学滤波器的理论结合起来。因此，多分辨分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

*小波分析方法

小波分析方法是近年来发展起来的新的数学方法，小波的概念最早由法国地球物理学家J.Morlet和A.Grossmann在20世纪70年代分析处理地震数据时提出的，广泛应用于信号处理、图像处理、模式识别、地球物理勘探等领域。长期以来，信号处理中最基本的数学工具是Fourier分析。Fourier分析能有效地分析平稳信号，能通过频谱函数方便地指明平稳信号的主要谐波成分。然而在实际应用中，我们常常需要分析频域特性随时间变化的非平稳信号，如音乐信号、语音信号、地球物理信号等，需要了解某些局部时域信号所对应的频率特性，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时间或空间段上。上述情形都提出了关于短时段时域信号所对应的局部频域特性，即时-频局部化的要求。为了克服Fourier变换在时-频局部化方面的不足，D.Gabor提出了窗口Fourier变换（简记为WFT）方法。WFT在Fourier分析的基础上取得了进步，用WFT分析信号可在时-频窗这个局部范围内观察信号；但是WFT无法使时-频窗形状是自适应变化的，即对低频信号，其窗口形状自动变得扁平，对高频信号，其窗口形状自动变得瘦长。小波变换可以克服WFT的这一缺点。连续小波变换定义为地球物理勘探概论设定地球物理勘探概论则称函数系ψa，b（t）为小波函数或简称为小波（Wavelet），它是由函数ψ（t）经过不同的时间尺度伸缩和不同的时间平移得到的。式（3-7-30）中的R表示实数域；ψ（t）称为母小波；a是时间轴尺度伸缩参数，大的a值对应于小的尺度，相应的小波ψa，b（t）伸展较宽；反之，小的a值对应的小波在时间轴上受到压缩；b是时间平移参数，不同b值的小波沿时间轴移动到不同位置。系数｜a｜ －1/2是归一化因子，它的引入是为了使不同尺度的小波保持相等的能量。一个函数ψ（t）能够作为母小波，必须满足：地球物理勘探概论该式的物理意义是：ψ（t）是一个振幅衰减得很快的“波”，“小波”即由此得名。连续小波变换可以看成是连续变化的一组短时傅里叶变换的汇集，这些短时傅里叶变换对不同的信号频率使用了宽度不同的窗函数。具体来说，即高频用窄时域窗，低频用宽时域窗。小波变换具有的这一宝贵性质称为“变焦距”性质。小波变换是重磁异常分解的有效工具，利用小波多尺度分析方法，可以将重磁异常分解到不同尺度空间中，不同尺度的重磁异常反映了不同地质体的规模和埋深。作为一种新而有效的位场分离途径，小波多尺度分析方法为重磁资料解释和研究地壳提供了新的思路，在国内外得到了广泛的应用。侯遵泽、杨文采等（1995，1997）对中国大陆布格重力异常进行了小波多尺度分解，得到中国大陆地壳内及上地幔各种尺度成分意义下密度不均匀分布情况。高德章等（2000）采用二维小波多尺度分解技术，对东海及邻区自由空间重力异常进行分解，得到了沉积基底面和莫霍面产生的重力异常，所得到的四阶小波细节与东海陆架沉积盆地及邻区沉积基底面的起伏具有较好的一致性。小波多尺度分析又称多分辨分析，它把一个信号分解为逼近部分和细节部分，表示为 ，Ai是逼近部分，Dj细节部分。图3-7-11为三层多尺度分析结构图，其中，S是信号，A1、A2、A3是逼近部分，D1、D2、D3是细节部分。图3-7-11 三层多尺度分析结构图把图3-7-11 多尺度分析方法应用于磁测资料处理，野外观测值ΔT经一阶小波分解，得到局部场ΔT局1和区域场ΔT区1，把 ΔT区1作二阶小波分解得到ΔT局2和ΔT区2，再把ΔT区2作三阶小波分解可得ΔT局3和ΔT区3…还可以继续分解。根据异常的特征和地质情况来决定分解到几阶，解释时要赋予小波逼近部分和各阶的细节明确的地质意义。地球物理勘探概论把大冶铁矿ΔZ磁异常［图3-7-12（a）］用多尺度分析方法分解为1～5阶细节和5阶逼近，用谱分析方法得出一阶细节场源似深度26m［图（b）］，局部异常反映露天矿及浅表磁性不均匀以及人文活动干扰（如铁矿开采、钻探等钢铁制品干扰）。二阶细节场源似深度144m［图（c）］，三阶细节场源似深度235m［图（d）］，反映地表至约200m深铁矿体的磁异常，异常特征为正负伴生，两侧都有负值，表明铁矿体是下延有限的形体。四阶细节场源似深度488m［图（e）］，图中磁异常正负伴生，正异常幅值大于1000nT，两侧有负异常伴生，表明500m左右深仍有磁性强的铁矿体存在。图3-7-12 大冶铁矿ΔZ磁异常小波多尺度分解五阶细节场源似深度912m［图（f）］，西段已经看不出明显局部异常，推测在1000m深以下不太可能有铁矿体存在。东段尖山-犁头山在五阶细节上有400nT局部异常，推测该处深部磁性体埋深1000m左右。从异常特征看，东段尖山-犁头山磁性体要比中西段尖林山、龙洞磁性体深。图中西北角的铁门坎区还存在有强度大于800nT没有闭合的正异常，是深部区域场，还是与局部异常有关，尚不清楚其性质。从异常特征看，它与尖山-犁头山段局部异常特征完全不一样。五阶逼近（图未列出）为西南负、东北正的磁场特征，反映大冶铁矿区西南部为无磁性大理岩，而东北部为具磁性的闪长岩体。

小波分析法的原理

小波分析法的原理介绍如下：小波函数源于多分辨分析，其基本思想是将扩中的函数f(t)表示为一系列逐次逼近表达式, 其中每一个都是f(t)动经过平滑后的形式，它们分别对应不同的分辨率。多分辨分析又称多尺度分析，是建立在函数空间概念基础上的理论，其思想的形成来源于工程。创建者Mallat .S是在研究图像处理问题时建立这套理论的。当时人们研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信息。Meyer正交小波基的提出，使得Mallat想到是否用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不同尺度间的“ 信息增量” 。这种思想导致了多分辨分析理论的建立。MRA不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。其思想又同多采样率滤波器组不谋而合，使我们又可将小波变换同数学滤波器的理论结合起来。因此，多分辨分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。

小波分析的优点怎么理解？

高频的意思就是信号在短时间内变化剧烈，从波形上看通常就是小波长尖锐剧烈的变化。低频的意思就是信号在短时间内变化平缓，从波形上看信号是平滑的大波长变化。要分析高频信号的波形特征当然时间分辨率要高，就是时间间隔要短，比如一个高频信号在1秒钟变化了1000次，频率为1000hz，那么根据采样定理你起码在1秒要采样2000个点（即采样频率2000hz），时间间隔0.0005秒，才能完全表现出信号的这1000次变化，如果你加大时间间隔到0.01秒，那么就只采样了约100个点，丢掉了1900个点，那么这1900个点中包含的信息就没有了。所以高频信息只有时间间隔小才有高的分辨率，才能给出比较好的精度。
对于低频信号同理，比如一个低频信号在在1秒钟只变化了10次，频率为10hz，那么根据采样定理你起码在1秒要采样20个点（即采样频率20hz），时间间隔0.05秒，就完全可以表现出信号的这10次变化，如果你减小时间间隔到0.01秒，那么就还是采样了约100个点，多余了80个点，那么这多余的80个点中的信息不仅没有你那原始信号的10次变化的准确信息，还可能增加些不必要的信息，也就是噪声。所以低频信号，通常不必用那么小的时间间隔就可以表现出原始低频信号的整体（很多文献翻译不规范，不太懂的人乱翻小波文献，别被坑了，不是“完全”的意思应是“整体”的意思）的特征信息。
你这问题是基础中的基础，可以说这不是小波方面的问题，除非你根本没学过信号处理，如果你没学过信号处理，那你还怎么学得会小波，如果你学过信号处理，那这个问题的理解就根本不是个问题，而是你的问题。原谅我就是这么啰嗦啊，哇卡卡。。。祝学习进步！

小波变换(一)

由于项目可能会用到的原因,学一下,感觉已有的通俗易懂教程不够相应的学术性. 教程:《数字信号处理》陈后金著 视频教程: 中国大学mooc-数字信号处理 [TOC] 在正式进入小波变换之前，我们不妨来讨论一下傅里叶变换的局限性和为什么我们需要引入小波变换。 回想傅里叶变换的公式 怎么来解决以上的问题呢?有人提出了短时傅里叶变换来加以改善,我们先来看看短时傅里叶变换的表达式: 通过加入一个滑动的窗函数 (长度为N),来弥补傅里叶变换的频谱上没有时间信息这个弊端 其实原理很简单,就是原来一段的傅里叶变换,现在固定分成几段来分别进行傅里叶变换,那么分成的这几段,可以在时间上独立开来,就变成了 具有时间信息的傅里叶变换 但当然,这个加窗对整个变换也是有影响的,这里不妨先介绍两个术语: 时间分辨率由时窗宽度 决定, 越 小 ,时间分辨率越高. 频谱分辨率是指分辩信号中相邻谱峰的能力 越 小 ,频谱分辨率越高。 在对信号的时频分析中,我们希望时间分辨率和频谱分辨率都可以比较高,但是从定义式里面我们就知道,时 间分辨率和频谱分辨率是相互制约的 ,同时也说明,我们没办法 同时获得 较高的时间分辨率和频谱分辨率. 从这里我们可以再一步印证出,傅里叶变换(连续)具有无穷的频谱分辨率,而无时间分辨率. 现在我们回来讨论短时傅里叶变换的窗函数 的长度N,显然N如果变大,频谱分辨率肯定是越来越好的,时间分辨率确实便来越差的.同时N如果变小,频谱分辨率肯定是越来越差的,时间分辨率便是越来越差的. 既然上面说了时间分辨率和频谱分辨率已经是不可兼得的了,那么现在问题来了, 我们到底想得到什么东西? 回想一下: 傅里叶变换的缺点在他不能有效地处理非平稳信号,短时傅里叶变换的N是固定的,往两边变化都会有制约. 那我们能不能在分析的过程中让这个N变起来?让他 在信号变化快的时候窗变小一点 ,获得较高的时间分辨率,较低的频谱分辨率. 在信号变化慢的时候窗变大一点 ,获得较低的时间分辨率,较高的频谱分辨率. 这个时候就应该给大家引入小波变换了.大家可以先无道理地认为小波变换就是一个窗长度会变的傅里叶变换(虽然我一直不喜欢这个通俗的比喻...) 在正式讲小波变换前,需要先补充一些知识. 在信号分析中,我们常将信号展开成一组信号的线性组合,即有 其中,{ }为展开系数,{ }为展开函数 若展开式具有 唯一性 ,即不同的信号对应不同的展开系数 ,则该展开函数 称为基(basis)。 对基函数来说,若其内积满足: 称此基函数为 正交规范(orthonormal) 基函数.正交在于其他内积等于0,规范在于系数是1 在此基础上我们可以知道,由于每个基函数之间都是互相正交的,所以我们可以将x(t)和基函数 进行内积计算,便可以得到相应的展开系数 ,也就是: 稍微有点泛函常识的我们可以知道,这就是 将信号往给定基函数元素所张成的内积空间里面投射 比较出名的就是傅里叶级数,将信号往以 为基函数的内积空间(无穷维空间)内投射,得到的相应正交基函数的特征值(也就是展开系数 )这里的 就是傅里叶级数里面的 .大家大可看看表达式,都是一模一样的. 当然这个是反着来用的,根据每个维度的特征值来合成回x(t),也就是逆变换 这里要注意的还有一点是,所谓的基函数,其实不仅仅是一个函数,而是一些有相同特征且相互正交的函数族. 小波(wavelet)信号是一类衰减较快的波动信号,其能量有限,且相对集中在局部区域. 先来看看常用的小波函数: 和小波变换相关的还有尺度函数(父小波)(Scaling Function) 尺度函数族 定义为: 小波函数族和尺度函数族前面的系数 是为了保持基函数的能量始终为1 对于这两个后面会有更理性的认识,这里我们先直接介绍DWT和IDWT 有了小波函数和尺度函数,就相当于明确了我们的小波的基函数. 我们可以利用小波函数族 ,尺度函数族 ,来将信号进行小波展开: 同时,上式也被称为 离散小波逆变换 (IDWT) 相反地,由信号x(t)求解展开系数{ }称为 离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT) 我们常用 来表示信号的粗糙成分, 来表示信号的精细部分.详细内容会在下一篇博客继续阐述. 之前总有一段时间不想学小波,感觉这个名词有点高大上什么的,然后因为最近要涉及到相关的信息,所以不得不学一下.学完个基础之后不得不感叹的是,小波变换我觉得比傅里叶变换还要来得简单直接,演示的效果有时还蛮惊艳的. 形象易懂讲解算法I——小波变换 小波变换完美通俗讲解系列之 （一） 小波变换完美通俗讲解系列之 （二 Wavelet transform - Wikipedia A Tutorial of the Wavelet Transform Ruch, David K. And Van Fleet, Patrick J.《Wavelet Theory：An elementary Approach With Applications》 Wavelets in Engineering Applications 罗高涌 ( 这可是我们学院罗教授出的书喔 ) 购买链接如下: Wavelets in Engineering Applications

小波变换

傅里叶变换的不足： 想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。 一个简单可行的方法就是——加窗。 把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。 使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？ 窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。 用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。 高频适合小窗口，低频适合大窗口。 然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。 频域中提取的特征主要有：FFT系数、熵、能谱密度、功率下降率（Power Decline Rate，PDR）等。 小波函数定义为 其中 是缩放因子，控制小波函数的伸缩； 是平移参数，控制小波函数的平移。缩放因子对应频率，平移参数对应时间。 在缩放因子为 的子空间的投影为 其中小波系数为 代表复共轭。 为了更直观地理解小波变换，先引入 Parseval 定理： 从上式不难看出，只有当小波中心频率与原始信号固有频率接近的时候，小波系数才会取得极大值。因此，小波可以看作是一个只允许频率和小波中心频率相近的信号通过的带通滤波器。通过缩放因子可以得到一系列不同的中心频率，通过平移系数则可以检测时域上不同位置的信号。这样就得到了原信号在各个时间点包含的频率信息。 STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了 傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数： 基函数会伸缩、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。 某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。这两种尺度能乘出一个大的值（相关度高），所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰。 小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。 对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号： 尺度函数 ： scaling function （在一些文档中又称为父函数 father wavelet ） 小波函数 ： wavelet function（在一些文档中又称为母函数 mother wavelet） 连续的小波变换 ：CWT 离散的小波变换 ：DWT 不同的小波基函数，是由同一个基本小波函数经缩放和平移生成的。 小波变换是将原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运算,所以一个尺度函数和一个小波基函数就可以确定一个小波变换 连续小波变换 cwt(data, scales, wavelet, sampling_period=1.) 离散小波变换 pywt.dwt(data, wavelet, mode=’symmetric’, axes=-1) 经过小波变换后图像会生成低频信息和高频信息。低频信息对应于求均值，高频信息对应于求差值。 均值是局部的平均值，变化缓慢，属于低频信息，存储图片的轮廓信息，近似信息 差值是局部的波动值，变化较快，属于高频信息，存储图片的细节信息，局部信息，另外含有噪音 是高通滤波器，允许高频信息通过 是低通滤波器，允许低频信息通过 在拼接子图之前，应该先对各个子图进行处理。未处理的情况下，因为高频部分的像素值极小甚至小于0，所以高频区域呈黑色。最简单的处理方式为：将高频信息均加255，得到如下结果： 阈值函数 pywt.threshold (data, value, mode=, substitute=) 信号产生的小波系数含有信号的重要信息，将信号经小波分解后小波系数较大，噪声的小波系数较小，并且噪声的小波系数要小于信号的小波系数，通过选取一个合适的阀值，大于阀值的小波系数被认为是有信号产生的，应予以保留，小于阀值的则认为是噪声产生的，置为零从而达到去噪的目的。 小波阀值去噪的基本问题包括三个方面： 小波基的选择，阀值的选择，阀值函数的选择。 (1) 小波基的选择：通常我们希望所选取的小波满足以下条件：正交性、高消失矩、紧支性、对称性或反对称性。但事实上具有上述性质的小波是不可能存在的，因为小波是对称或反对称的只有Haar小波，并且高消失矩与紧支性是一对矛盾，所以在应用的时候一般选取具有紧支的小波以及根据信号的特征来选取较为合适的小波。 (2) 阀值的选择：直接影响去噪效果的一个重要因素就是阀值的选取，不同的阀值选取将有不同的去噪效果。目前主要有通用阀值(VisuShrink)、SureShrink阀值、Minimax阀值、BayesShrink阀值等。 (3) 阀值函数的选择：阀值函数是修正小波系数的规则，不同的反之函数体现了不同的处理小波系数的策略。最常用的阀值函数有两种：一种是硬阀值函数，另一种是软阀值函数。还有一种介于软、硬阀值函数之间的Garrote函数。 另外，对于去噪效果好坏的评价，常用信号的信噪比(SNR)与估计信号同原始信号的均方根误差(RMSE)来判断。 可以看到API给出了很多小波族，每个小波族又有很多系数可供我们去选择， “相同类的统计特征相近，不同类的统计特征相差很大” ，来挑选小波基函数。 多尺度小波变换一般是3~4层，但是要注意的是，如果实践中所用的图片太小，或者纹理并不丰富，其实用单层的小波变换就足够了。如果你用多层的小波变换，Pywalvets 仍只会返回给你一层变换的结果，因为信息量过小导致不能采样来进一步进行变换。