正二十面体

正十二面体

    最近，许老师让我画组合几何体。组合几何并没有比单个几何难多少，只是，有一个立体图形简直是我的“一生之敌”——正十二面体！

    看过我前面文章的人一定会知道——从我开始重新学素描时就与正十二面“结仇”了，因为正十二面体一但一个面出错，在连锁反应下，整幅画就会歪掉。我几乎打形打了半节课！要知道，画球的时候我也才用了半节课左右啊。再加上当时我对素描有些生疏了。于是，我差点没吐血。

    后来，老师让我画组合。刚开始画十分顺利，但下课后，老师却对我说：“下次给你找一张稍微难点的试试。”我听完，不禁有些疑惑：“啊?”结果第二天，我一看范画——只见范画上是十字贯穿体和正方体以及正……十二面体?我快速把前两者画完，但画到正十二面体时，居然没位置了。我只好把十二面体缩小。但当我画完时，居然又出了差错，我只得再改……最终，我差点吐血，改了半天，终于是画好了。

    可没想到，过了一天，老师又找了一幅角度更奇怪的正十二面体组合让我画。我画完后一看——除了正十二面体，其余的画的都还行。老师没办法，只得拿出杀手锏——找了石膏像对着我让我画。最后，我总算找到问题所在。


    唉，没准下节课还得与它打交道呢。

正十二面体的基本形是

关于正十二面体的基本形是如下：正十二面体是由12个正五边形所组成的正多面体，它共有20个顶点、30条棱、160条对角线，被施莱夫利符号{5,3}所表示，与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性的卡塔兰多面体菱形十二面体，它（加上所有其它的五角十二面体）都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面体还是截顶五方偏方面体的特例。其四维类比为正一百二十胞体。正十二面体是一个无穷家族——截顶偏方面体的第3个成员（截顶五偏方面体）。这类多面体可以被看作是将偏方面体在旋转对称轴上的两个相对的顶点截去而成。正十二面体的星形化体构成了4个星形正多面体中的3个。我们可以在正十二面体的20个顶点中选取5组这样的顶点，使任意两个顶点的连线都是正十二面体正五边形面的一条对角线，这样能构成正十二面体的内接立方体，5个内接立方体一起构成了——复合多面体——五复合立方体；我们还可以进一步对内接立方体做交错操作，得到正十二面体的内接正四面体，如果我们只在内接立方体中取一个正四面体，则5个正四面体构成了有手征性的复合多面体——五复合四面体；如果取两个，则10个正四面体构成了复合多面体——十复合四面体，这三个复合多面体都是正十二面体的小面化体。正十二面体的完全对称群是正二十面体对称群Ih，考克斯特群[5,3]，群阶120，还有一个抽象群结构A5×Z2。当正十二面体和正二十面体内接于同一球时，尽管正二十面体有更多的面，但正十二面体占据球的体积（66.49%）要多于正二十面体占据的球的体积（60.54%），这一点与二维不同。棱长相同为1的正十二面体的体积（7.663...）是正二十面体体积（2.181...）的三倍半多。