微分的几何意义是什么？
微分的几何意义就是：直角三角形的高（dy）等于正切值（斜率导数即f'（x））乘以该三角形的底边（dx）。把这些微分即微小的dy累积起来就得到三角形的高或着说得到了函数值的本身即y=f（x）。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。推导设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。
微分的几何意义是什么?
微分的几何意义就是：直角三角形的高（dy）等于正切值（斜率导数即f'（x））乘以该三角形的底边（dx）。把这些微分即微小的dy累积起来就得到三角形的高或着说得到了函数值的本身即y=f（x）。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。学微分的方法1、听讲：应抓住听课中的主要矛盾和问题，在听讲时尽可能与老师的讲解同步思考，必要时做好笔记。每堂课结束以后应深思一下进行归纳，做到一课一得。2、阅读：阅读时应仔细推敲，弄懂弄通每一个概念、定理和法则，对于例题应与同类参考书联系起来一同学习，博采众长，增长知识，发展思维。3、探究：要学会思考，在问题解决之后再探求一些新的方法，学会从不同角度去思考问题，甚至改变条件或结论去发现新问题，经过一段学习，应当将自己的思路整理一下，以形成自己的思维规律。4、作业：要先复习后作业，先思考再动笔，作业要认真、书写要规范，只有这样脚踏实地才能学好数学。总之，在学习数学的过程中，要认识到数学的重要性，充分发挥自己的主观能动性，从小的细节注意起，养成良好的数学学习习惯，进而培养思考问题、分析问题和解决问题的能力，最终把微积分学好。
十八世纪的解析几何和微分几何（五）
曲面理论
和空间曲线理论一样，曲面理论的建立也是一个相当漫长的过程。曲面理论始于研究曲面（地球）上的测地线。1697年约翰伯努利提问：怎样在一凸面曲面上求两点间最短弧。1698年他给莱布尼茨写信说，测地线上任何一点处的密切平面（密切圆平面）在该点垂直于曲面，同年他的哥哥詹姆斯伯努利解决了柱面、锥面和旋转曲面上的测地线问题，30年后约翰伯努利用哥哥的方法求出另外几种曲面的测地线，不过詹姆斯伯努利的方法有局限性。
1728年欧拉使用他在变分法中引入的方法，给出了曲面上测地线的微分方程，1732年Jacob Hermann也求出了一些特殊曲面上的测地线。克莱罗在1733年和1739年的著作中充分讨论了旋转曲面上的测地线，证明测地线和穿过测地线的任何子午线的夹角正弦和交点到旋转轴的垂直距离成反比；他又证明如果一平面通过旋转曲面任何一点M且垂直于曲面和通过M点的子午面，则该平面与曲面的交线在M点处的曲率半径等于法线在M点和旋转轴之间的长度，尽管他使用了分析法，但不具备与变分法相联系的思想。
1760年欧拉出版了《关于曲面上曲线的研究》，在该书中建立了曲面理论，是微分几何发展史中的里程碑。他把曲面表示成z=f(x,y)并引入了现代的标准符号，先求曲面任何平面截线的曲率半径的表达式，再把结果应用到法向截面，他把垂直于xy平面的法向截面定义为主法向截面，得到法截线的曲率半径。他想要求出过曲线上一点的所有法截线的最大曲率和最小曲率，发现存在两个相差90°的根，即有两个相互垂直的法平面，我们把这两个曲率称为主曲率κ1和κ2。从欧拉的结果推得，任何一个和主曲率所在法截面之一成α角的法截面，其上截线的曲率κ为：κ=κ1cos^2α+κ2sin^2α，这个结果称为欧拉定理。、
蒙日的学生Jean Baptiste Marie (J. B. M. Meusnier de la Place，中文翻译为梅斯尼埃，1754-1793)在1776年以更精细的方式得到相同结果，梅斯尼埃和拉瓦锡一起搞过流体动力学和化学，他处理了非法截线的曲率（欧拉搞过一个复杂的表达式），称为梅斯尼埃定理：曲面在P点的平面截线曲率，是通过P点的同一切线的法截线曲率除以原平面和P点切平面之夹角的正弦，他证明了两个主曲率处处相等的曲面只有平面和球面。他的论文使18世纪的许多结果变得直观。
绘制地图的需求发展了曲面论的一个主要领域：研究可展曲面，即将其平摊在平面而不产生畸变的曲面，同时形状与球面接近。欧拉是第一个研究这个问题的人。18世纪曲面被认为是固体的边界，因此他认为立体的表面可展平在一张平面上。他引入了曲面的参数表示，试图寻求满足什么条件的函数可以使曲面展开在平面上。他推导出可展性的充要条件，方程等价于曲面上的线元素与平面上的线元素相等。
然后欧拉研究了空间曲线和可展曲面的关系，并证明任何空间曲线的切线族填满或构成一可展曲面。他试图证明每个可展曲面都是直纹面（直线移动生成的曲面），且逆定理也成立，但没有成功（实际上逆定理不成立）。
蒙日独立研究了可展曲面的课题，他结合了分析法和几何法，是继笛卡尔后综合几何领域的第二个代表人物。蒙日在画法几何（为建筑学服务的）、解析几何、微分几何、常微分方程和偏微分方程领域的工作赢得了拉格朗日的钦佩和羡慕。他也为物理学、化学（他跟梅斯尼埃都跟拉瓦锡一起工作过）、冶金学、机械学做了许多贡献，他看到了工业发展对科学的需求，提倡把工业化用于改善民生。也许是因为他出身贫寒，懂得底层的苦难，所以他热心社会事务，在法国革命后的政府担任海军部长和公众健康委员会委员（可能是1792年左右，跟尚未成名的拿破仑结了善缘，但是他自己不记得了。后来革命愈演愈烈，蒙日差点被群众搞死，被拿破仑救了一命）他搞过武器设计，还用技术思想指导政府官员。他是波拿巴的支持者（但是看百度百科，没感觉他崇拜拿破仑呀），后来波旁王朝复辟，使得这位天才晚景凄凉。蒙日帮助组织了很多工艺学校，建立了一个几何学派（他创立的画法几何因为太强了，被要求签保密协议，很多年后解禁了才在巴黎公开授课），他是一个伟大的教师，至少有12个学生是19世纪初的知名人物。
蒙日在三维微分几何的贡献远超欧拉，1795年他发表了一篇论文，把过去的成果系统化并作了扩充，提出了一些新的重要结果，并把曲线、曲面的性质翻译成偏微分方程的语言。在寻求分析和几何的对应关系时，他认识到一族具有共同几何性质或用同一种生成方法定义的曲面应该满足一个偏微分方程。
蒙日的第一个重要工作是关于双重曲率曲线的可展曲面，研究空间曲线及与之相联系的曲面，他把空间曲线看作两空间交线或两个互相垂直平面的投影。他把法平面和相邻法平面交线的极限位置称为极轴。当沿着曲线移动时，法平面的包络是一可展曲面，叫做配极可展曲面。为了求配极可展曲面的方程，他给出法平面方程，然后给出了求单参数平面族包络的法则，这个法则沿用至今且同样适用于单参数曲面族。
蒙日还研究了可展曲面的脊线，这是由生成曲面的一组直线形成的，脊线把可展曲面分成两叶，就像尖点把平面曲线分成两部分。蒙日得到了脊线方程，在配极可展曲面，脊线就是原空间曲线的曲率中心的轨迹。
1775年蒙日发表了一篇在影子和半阴影理论中碰到的可展曲面的论文，直观论述了可展曲面是直纹面（但反之不然）。在直纹面上两条相邻直线共点或平行，任何可展曲面等价于由空间曲线的切线生成的曲面。在文章中他给出可展曲面的一般表示，然后他给出直纹面的一般表示，可展曲面是一种特殊直纹面。
1776年他研究怎样最有效地把土从一个地方搬到另一个地方，事实上这篇文章的重点不是应用，而是其中的几何结果。他从处理两个参数的一族直线或线汇这个课题着手，然后遵循欧拉和梅斯尼埃的工作，考虑了曲面S的法线族。曲率线的曲面法线构成一个可展曲面，称为法可展曲面（这些术语简直使我灵魂出窍了……），类似地，沿垂直于第一条曲率线的曲率线的曲面法线也构成一个可展曲面。因为曲面上有两族曲率线，所以有两族可展曲面，且相互正交。一族可展曲面的全部脊线组成一曲面，称为中心曲面。每族可展曲面的包络叫焦曲面。
蒙日对满足非线性、线性一阶、二阶、三阶偏微分方程的曲面族的研究工作对偏微分方程意义重大。他喜欢通过对具体曲线、曲面的论述阐明思想。他思想的推广和应用是由19世纪的数学家实现的。蒙日面向实际，在1795年的论文中他以理论怎样应用于建筑建造作为结尾。
蒙日的学生皮埃尔·夏尔·弗朗索瓦·迪潘（1784-1873）也为曲面论做了贡献，迪潘是个造船工程师，也侧重应用，他的贡献之一是迪潘指标线，澄清了欧拉和梅斯尼埃先前的结果。给定曲面在M点的切平面，从M点向切平面的每个方向划出一线段，长度等于曲面在该方向的法截线的曲率半径的平方根，这些线段端点的轨迹是一条圆锥曲线，即指标线。曲面上通过M点具有极大极小曲率的曲线，是在M点以指标线的轴线作为切线的曲线。迪潘还给出了定理：三族正交曲面相互交截于每个曲面的曲率线（有最大或最小法曲率的曲线）。
迪潘推广了蒙日关于线汇的结果。如果线汇（双参数族）与一族曲面正交，则称线汇为正交的。法国物理学家马吕斯Etienne Louis Malus（1775-1812）利用了蒙日的结果，证明从一点发出的法向线汇在曲面上反射或折射后仍然是一个法向线汇。1816年迪潘证明这一定理对任何法向线汇经任意多次反射后仍然成立。后来凯特勒Lambert Adolphe Jacques Quetelet（1796-1874）证明法向线汇经多次折射后仍然为法向线汇。线汇和线丛（马吕斯引入的三参数曲线族）是19世纪许多数学家研究的课题。
十八世纪的解析几何和微分几何（四）
空间曲线
克莱罗开创了空间曲线的理论，这是三维微分几何的一大进步。克莱罗（1713-1765）9岁就在父亲的帮助下学习解析几何和微积分，12岁时就写了一本关于曲线的书（震惊……天才内卷起来真应了张爱玲那句话：出名要趁早），16岁写了一本关于双重曲率曲线的著作，在书中论述了曲面和空间曲线的解析学，这本书于1731年出版，同年他成为法国科学院有史以来最年轻的院士。1743年他出版了关于地球形状的著作，以比牛顿、麦克劳林更完全的形式论述了旋转体的形状，给出了地球几何扁率与重力扁率的数学关系。他也研究了三体问题，1763年发表了《关于月球的理论》。克莱罗一生未婚，很有魅力，是巴黎社会的知名人物。
1731年克莱罗解析地论述了空间曲线的基本问题，他把空间曲线称为双曲率曲线，因为他受笛卡尔影响，考虑了空间曲线在两个垂直平面上的投影，于是空间曲线拥有了两条平面曲线的曲率。他从几何上把一条空间曲线看作两个曲面的交线，从分析上把每个曲面表示为三变量的方程。然后他研究双曲率曲线的切线，发现一条空间曲线在一个垂直切线的平面上可以有无穷多条法线，并提出了空间曲线弧长的表达式和某些曲面面积的求积公式。
1750年前后，空间曲线理论或曲面理论仍然是很匮乏的，之后欧拉推动了空间曲线微分几何的第二次重大发展。早年欧拉在力学中应用曲线和曲面，推进了微分几何的研究。1774年他开始讨论空间曲线的理论。为了研究扭曲橡皮带所取形状的问题：“开始是直的橡皮带，在两端压力作用下变得扭曲，求曲线形状”，他引入了一些新的概念，在次年给出了关于扭曲线理论的完整论述。
他引入了球面指标线，这个概念是说，对于曲线任一点(x,y,z)，以它为球心画一个单位球，球上点的轨迹就是球面指标线。欧拉推导了空间曲线曲率半径的一个解析表达式，定义了曲线在(x,y,z)的密切平面（约翰伯努利引入密切平面的术语，且认为密切平面由三个“重迭”的点决定），并给出密切平面的方程。
克莱罗曾经引入了空间曲线有两个曲率的想法，其中一个曲率是欧拉前面给出的，另一个曲率现在称为挠率，几何上表示一条曲线从(x,y,z)点处的一个平面离开的速率，工程师和数学家 Michel - Ange Lancret (1774-1807)用分析法求出表达式。Lancret是蒙日的学生，他继承了蒙日的思想，在曲线任一点选出三个主方向：切线方向、主法线方向和次法线方向。挠率是次法线方向关于弧长的变化率。
1826年柯西改进了概念的陈述，澄清了空间曲线理论中的许多问题，他抛弃了常量无穷小ds，并区分了增量和微分的差别。他发展的几何曲面理论实际上是现代的，他在证明中摆脱了球面三角学，但他也用弧长作自变量，他得到了任一一点处切线的方向余弦，证明了主法线的方向数，得到了曲线曲率的表达式。他证明了x,y,z的二阶导是法线的方向余弦除以曲率半径。他把切线和主法线决定的平面作为密切平面，这个平面的法线是次法线，他接着给出了次法线的方向余弦和挠率。柯西已经得到 Frenet - Serret 公式中的两个公式，这三个公式分别给出了切线、次法线和法线的方向余弦的导数，它们由Serret(1819-1885)在1851年和Frenet(1816-1900)在1816年分别发表。
曲率和挠率是空间曲线的两个基本性质，给定曲率和挠率，在加上曲线在空间中的摆法，就完全确定了这条曲线。 Frenet - Serret 公式可容易证明这一结论。
参考阅读： 弗莱纳公式
