微分中值定理

微分中值定理的应用

（一）对于不等式与等式证明中的应用
中值定理在一些等式的证明中,我们往往容易思维定式,只是对于原来的式子要从哪去证明,很不容易去联系其它,只从式子本身所表达的意思去证明.已知有这样一个推论,若函数
在区间I上可导,且
中值定理
,则为I上的一个常量函数.它的几何意义为：斜率处处为0的曲线一定是平行于y轴的直线.这个推论的证明应用拉格朗日中值定理.
（二）关于方程根的讨论（存在性与根的个数）（三）在洛比达法则中证明的应用
无穷小（大）量阶的比较时,看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在,也可能不存在.如果存在,其极限值也不尽相同.称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为 型或 型不定式极限.解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则.这是法则的内容,而在计算时往往都是直接的应用结论,没有注意到定理本身的证明,而这个定理的证明也应用到了中值定理.
中值定理（四）定理之间的关系应用
在一元函数微分学中,微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具,它在数学分析中占有重要的地位,其中拉格朗日中值定理是核心,罗尔定理是其特殊情况,柯西定理是起推广.拉格朗日微分中值定理有许多推广,这些推广有一些基本的特点,这就是把定理条件中可微性概念拓宽,然后推广微分中值表达公式.微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地,在以后的学习中还会有其他的应用,再做更为全面的总结

微分中值定理的应用

微分中值定理的应用如下：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位。 通过微分学基本定理的介绍，揭示函数与其导数之间的关系，在知识结构和思想体 系中，建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。 在各类大型考试中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常 以该定理的证明及应用出现，涉及一些理论分析和证明，还有在极值问题中的实 际应用，因而对其进行较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要。 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。 1637年，著名 法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。 教科书中通常 将它称为费马定理。

微分中值定理的历史与发展

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在
几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的
底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)
正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.

意大利卡瓦列里(Cavalieri)
在《不可分量几何学》(1635年)
的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:
曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.

人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.
1637年,著名法国数学家费马(Fermat)
在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle)
在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy)
,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》
(1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.