庞加莱猜想有什么意义？
庞加莱认为的三类科学假设分别举例如下：第一类假设是“隐蔽的定义”，举例为：是纯属自然的,人们难以摆脱。我们很难假设遥远物体的作用就是可以忽略，还有小规模的运动是遵循线性法则以及结果是关于起因的函数。第二类假设是中性假设，是一种能够帮助科学家计算、理解图像或是坚定信念的辅助性技巧或手段，举例为：例如我们在大多数问题的分析里也就假设在推算开始，物质要么是连续的,或者相反是由原子构成的。假设也有可能是相反的,但结果最终还是一样的，也只是相反的路走得更复杂一些，仅此而已。第三类假设是概括，是对事物之间关系的描述，举例为：是真正的归纳总结，这些就是必须要实验来验证或者证实。不管结果是对是错，都不熊说一点用都没有。关于庞加莱三类科学假设的比喻：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里，随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。好，接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
什么是庞加莱猜想
分类: 理工学科
解析:
法国人庞加莱（Henri Poincaré）被称为“最后一位数学全才”，在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。
庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。
代数拓扑是当今数学最具活力的领域之一，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，而这一猜想的陈述又是那样的简洁和明朗，因此设在波士顿的克莱数学研究所于2000年将它列为“七大千年难题”之一，并悬赏100万美金奖励这一猜想的证明者。也正因为如此，当美国媒体和互联网上关于这一猜想可能已被证明的消息传播开来之时，在整个数学界引起的轰动就可想而知了。
对此猜想作出重要贡献的是一位来自俄罗斯的中年数学家格里高利·佩雷尔曼（Grigory Perelman）。他是圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的研究员，在过去10年中一直致力于微分几何与代数拓扑的研究。2002年11月，佩雷尔曼通过互联网公布了一个研究报告，声称证明了由美国数学家瑟斯顿（William P. Thurston）在25年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”，而“庞加莱猜想”正是后者的一个特例。由于每隔数年就会冒出一个新的“证明”随后又被推翻，因此数学界对此类报告一向是非常谨慎的。四个月后佩雷尔曼又在网上公布了第二份报告，介绍了证明的更多细节。同时他也通过电子邮件与该领域的少数专家进行交流。
2003年4月，应华裔数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院作了三场演讲，结果大获成功。他似乎对所有问题和质疑都有准备——或者流利地应答，或者指出其属枝节末流。听过演讲的专业人士认为他的工作是极富创造性的，“即使证明有误，他也发展了一些工具和思想，足以导致对‘几何化猜想的精致处理，其中有极为振奋人心的东西”，克莱研究所所长卡尔森（Jim Carlson）如是说。
数天后的 4月15日，《 *** 》首次以“俄国人报告，著名的数学问题解决了”为题向公众披露了这一消息。同日有影响的数学网站MathWorld刊出的头条文章为“庞加莱猜想被证明了，这一回是真的”。佩雷尔曼很快成了一个新闻人物，但他对此很不适应。两周后当他应邀在纽约大学柯朗研究所演讲时，报告厅里挤满了记者和慕名而来的非专业听众。佩雷尔曼演讲的热情大打折扣，他拒绝回答记者提出的“有何应用”的问题，并大声制止为他拍照的企图。对包括《自然》、《科学》这样声名显赫的杂志的电信采访他也不屑一顾。后来人们干脆找不到他了，连他在圣彼得堡的同事们都不知道他在哪里和在做什么。2003年年底在加州召开了两个以他的工作为主题的研讨会，他也没有到会。
佩雷尔曼不但生性腼腆，而且特立独行。大约10年前访问美国时，他的工作就曾引起人们的注意并因此得到在美国大学工作的机会，但是同他的许多有才华和机会的同胞相反，他很快返回俄国，过着几乎是隐士般的生活。“他需要的是数学，而不是奖赏、资金和职位”，这是今年1月刚出版的《自然》杂志（Nature 427）上一篇关于他的文章所用的提示语。
佩雷尔曼的证明目前正由几位有资格的专家进行严格的审查。田刚已经审读完第二篇报告的大部分，到目前为止还没有发现什么漏洞，他希望在今年夏天完成其余的部分。数学家们的系统审查则可能延续到2005年，到那时我们才能知道“庞加莱猜想”是否已经被证明了，以及佩雷尔曼是否会得到“千年大奖”。
庞加莱的猜想是什么?
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点.另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是.大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题.这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗. 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起.”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题.庞加莱猜想,就是其中的一个. 1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球.但1905年发现提法中有错误,并对之进行了修改,被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面.”后来,这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”. 如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想象： 我们想象这样一个房子,这个空间是一个球.或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子. 我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球形房子里.现在拿一个气球来,带到这个球形的房子里.随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）.这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以（对形状也有一定要求）.但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破.还要假设,这个气球的皮是无限薄的. 好,现在我们继续吹大这个汽球,一直吹.吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙. 我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点； 另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的. 为什么?因为,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是. 看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学推理和逻辑推理.一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终. 艰难的证明之路 2000年5月24日,美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一,这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题,经许多年仍未解决.”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励.另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全问题, 霍奇猜想（Hodge）, 黎曼假设（Riemann）,杨－米尔斯理论（Yang-Mills）,纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes,简称NS方程）,BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）. 提出这个猜想后,庞加莱一度认为自己已经证明了它.但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来.于是,拓扑学家们开始了证明它的努力. 早期的证明 20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项.但突然,英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣.他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文,失之桑榆、收之东隅.但是在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特海流形. 30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中. 帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家.因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”（Papa）.在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客.帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力.” 然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却最终倒在了庞加莱猜想的证明上.在普林斯顿大学流传着一个故事.直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言
