全微分方程的通解
全微分方程是指可以被写成形如$M(x,y)dx + N(x,y)dy=0$的方程，其中$M$和$N$是$x$和$y$的一次多项式。若该方程之中存在一个恰当的函数$\varphi(x,y)$，使得方程可以被写成$d\varphi(x,y) = 0$的形式，那么该方程就是全微分方程，同时方程的解可以直接通过对恰当函数$\varphi(x,y)$进行求导求出。1、判断是否为全微分方程若$M(x,y) \frac{\partial}{\partial y}N(x,y) = N(x,y) \frac{\partial}{\partial x}M(x,y)$，那么该方程有可能为全微分方程。令$f(x,y) = \int M(x,y)dx + C(y)$，$M(x,y)dx + N(x,y)dy=0$ 变为$d(f(x,y)) + C'(y)dy = 0$，因为$C'(y)dy$对$x$求偏导数得$0$，所以若此时能找到$C(y)$使得$d(f(x,y)) + C'(y)dy$恰为$0$，那么原方程就是全微分方程。2、求解恰当函数$\varphi(x,y)$可以通过两种方法来求解恰当函数：(1) 偏导数法：$M(x,y)dx + N(x,y)dy$为全微分方程，若满足$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$，即$M(x,y)dy - N(x,y)dx = 0$为恰当形式，则恰当函数$\varphi(x,y)$可以表示为$\varphi(x,y) = \int M(x,y)dy = \int N(x,y)dx.$(2) 积分因子法：存在一个非零函数$u(x,y)$，使得$u(x,y)M(x,y)dx + u(x,y)N(x,y)dy=0$为恰当形式，即可通过求解小学奥数中的乘法公式，求出积分因子$u(x,y)$。进而可以求出某个新方程，若该新方程为全微分方程，则原方程也为全微分方程。3、求解全微分方程通解假如已经通过上述方法求得恰当函数$\varphi(x,y)$，那么方程的通解可以直接写为$\varphi(x,y) = C$的形式，其中$C$是任意常数，它可以通过给定的边界条件来确定。需要注意的是，如果方程不是全微分方程，那么就不能直接通过上述方法求解通解，需要考虑其他数值和符号计算方法求解。全微分方程通解的求法是通过求解恰当函数$\varphi(x,y)$，然后写出通解$\varphi(x,y) = C$的形式。虽然通解形式简单，但要判断是否满足全微分方程和求解恰当函数都需要一定的数学功底和技巧。需要通过理论学习和实践运用，进一步提高对全微分方程的掌握和应用能力。全微分方程的由来全微分方程是早期微积分的一个重要研究对象，它的历史可以追溯到17世纪。欧拉和伯努利兄弟对全微分方程的研究起到了很大的推动作用，拉普拉斯和高斯等人也对此做出了重要贡献。全微分方程在热力学、物理学、化学、地理等多个领域有着广泛的应用，对于理解自然界的规律和进行科学研究具有重要的意义。
全微分方程求解
1考虑形如P(x.y)dx+Q(x.y)dy-0的微分方程,如果它的左边恰好是某个函数的全微分,即存在u(x,y)使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称上述方程为全微分方程。显然若P(x,y)dx+Q(x.y)dy是u(x,y)的全微分,则由du=0可得u(x,y)-C (C为任意常数) ,这就是全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的(隐式)通解。全微分方程的判断及求解的方法,注意不是所有形如 P ( x , y ) dx + Q ( x , y )dy-0的方程都是全微分方程的。根据定义,全微分方程等价于判断 P ( xy ) dx + Q ( x , y ) dy 是某个函数的全微分,因此有下面的“判定定理”:,当 P ( x , y ), Q ( x , y )在某个单连通域 G 内具有一阶连续偏导数时,方程 P ( x , y ) dx + Q ( x , y )dy=0是全微分方程的充要条件是张-在区域 G 内恒成立。,前面已指出全微分方程的通解形如 u ( x , y )= C ,因此求解全微分方程只须求出 u ( x , y ),而这显然就是上一节中介绍的二元函数全微分求积问题,
求全微分方程的通解
求微分方程y²dx+(3xy-4y³)dy=0的通解解：y[ydx+(3x-4y²)dy]=0；消去y得 ydx+(3x-4y²)dy=0..............①；【由此可知：y=0是方程的一个特解】P=y；Q=3x-4y²；∂P/∂y=1；∂Q/∂x=3；由于(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/y)(1-3)=-2/y=H(y);因此方程①有积分因子μ：用y²乘方程①的两边得：y³dx+(3xy²-4y^5)dy=0...........②此时P=y³；Q=3xy²-4y^5；满足 ∂P/∂y=3y²=∂Q/∂x；故②是全微分方程。∴其通解u(x，y):这也是原方程的通解【取微分后消去y²即得原方程】
什么是微分方程？
微分方程含有未知函数的导数，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4都是微分方程。 一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的、叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。 定义式：f(x,y',y'',……y(n))=0 由来微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程 y┡=?(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。 发展历史 大致与微积分同时产生。事实上，求y′=f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。解法
微分方程是什么？
那就是我胆子有点小，晚上怕黑，自己一个人不敢去厕所，还得叫上同学一起去。微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的书中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、物理学、工程学、天文学等领域都有应用。初等等代数学向两个方向进一步发展：未知数更多的一次方程组；未知数次数更高的高次方程。在这两个方向上的发展，使得代数学发展到高等代数的阶段。高等代数作为代数学发展到高级阶段的总称，包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数和多项式代数。以幂级数为工具，用严密的纯解析推理展开了函数论。并将解析函数定义为可以展开为幂级数的函数，围绕着奇点对函数性质进行研究。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
