floyd算法求最短路径
Floyd算法适用于APSP(AllPairsShortestPaths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。时间复杂度:O(n^3)；空间复杂度:O(n^2)；任意节点i到j的最短路径两种可能：直接从i到j；从i经过若干个节点k到j。map（i，j）表示节点i到j最短路径的距离，对于每一个节点k，检查map（i，k）+map（k，j）小于map(i，j),如果成立，map（i，j） = map（i，k）+map（k，j）；遍历每个k，每次更新的是除第k行和第k列的数。步骤：第1步：初始化map矩阵。矩阵中map[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则map[i][j]=∞。如果i==j，则map[i][j]=0; 第2步：以顶点A(假设是第1个顶点)为中介点，若a[i][j] > a[i][1]+a[1][j]，则设置a[i][j]=a[i][1]+a[1][j]。
Floyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度和空间复杂度的过程
亲，您好，很高兴为您解答,Floyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度和空间复杂度的过程？Floyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度为O(V*V*V)，其中V为图中顶点的数量。空间复杂度为O(V*V)。Floyd(弗洛伊德)算法最适用于无负权重的单源最短路径问题。它基于「贪心法」，旨在使用一个给定的权重值择出最短路径。在某个节点上，它会选出具有最短权重来源和最短权重离端的最短路径，并进行更新。Floyd(弗洛伊德)算法还有一个改进版本叫做Johnson(约翰逊)算法，它应用了堆的概念和精心设计的数据结构，实现了O(V*logV+E)的时间复杂度和O(V*E)的空间复杂度，而且还可以处理带负边权重的图。希望本次服务能够帮助到您，感谢您的咨询，祝您万事如意！【摘要】
Floyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度和空间复杂度的过程【提问】
亲，您好，很高兴为您解答,Floyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度和空间复杂度的过程？Floyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度为O(V*V*V)，其中V为图中顶点的数量。空间复杂度为O(V*V)。Floyd(弗洛伊德)算法最适用于无负权重的单源最短路径问题。它基于「贪心法」，旨在使用一个给定的权重值择出最短路径。在某个节点上，它会选出具有最短权重来源和最短权重离端的最短路径，并进行更新。Floyd(弗洛伊德)算法还有一个改进版本叫做Johnson(约翰逊)算法，它应用了堆的概念和精心设计的数据结构，实现了O(V*logV+E)的时间复杂度和O(V*E)的空间复杂度，而且还可以处理带负边权重的图。希望本次服务能够帮助到您，感谢您的咨询，祝您万事如意！【回答】
如果最短路径不唯一，该如何输出全部符合要求的路径呢？【提问】
亲，Floyd算法时间复杂度是O(V^3)，空间复杂度是O(V^2)，其中V是顶点数。此外还要另外费费去存储V组之间路径的中间节点，空间复杂度还可以提升到O(V^3)。要找到所有最短路径，可以运用回溯算法，即用一个二维数组来存经过哪些节点可以找到最短路径，运用深度优先搜索遍历每条路径，找出所有符合最短距离的路径，算法的时间复杂度是O(V^2E),其中E表示边数。【回答】
loyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度和空间复杂度的计算过程【提问】
亲，Loyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径的时间复杂度与空间复杂度取决于多段图的节点数，可以概括为 O(n^2)的时间复杂度和O(n^2)的空间复杂度。Loyd(弗洛伊德)算法通过不断的迭代，将所有基础点都与每一个非基点作比较，得出最短路径，其时间复杂度主要取决于这种迭代比较的次数。首先，Loyd算法取决于顶点数，假设顶点数为n，那么的空间复杂度显然是n^2，因为要将一共有n个顶点的解空间保存起来，而每一个顶点又有n个状态，所以总的状态就是n^2。其次，Loyd算法的时间复杂度也是n^2，因为Loyd算法的收敛时间是图中每个顶点到其他顶点的最短路径经过多少次迭代，而每次迭代要对整个图中n^2条边进行比较，所以时间复杂度为n^2。另外，Loyd算法还可以采用改进的办法来提高最短路径的收敛速度和空间复杂度。例如，可以使用改进的动态规划，采用分治法的思想，将原来的n^2的解空间分成小的解空间，从而提高空间复杂度，同时也提高收敛速度，从而使得Loyd算法实现更加有效率。感谢您的咨询，祝您生活愉快，谢谢【回答】
loyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的代码【提问】
实现Loyd(弗洛伊德)算法是用动态规划来求多段图最短路径的一种方法，算法实现的步骤如下：（1）确定起点和终点；（2）计算起点到每个定点的最短距离，计算方法为：已起点为入口，应计算每个定点到所有入口可达定点的最短距离；（3）比较每个定点到起点的最短距离；（4）计算每个定点最合适的出口；（5）重复上面的步骤，知道终点。这里给出一组Loyd算法求多段图最短路径的C++代码：#include #include using namespace std; // 返回start经由points以最短距离到达endint Floyd(const vector &graph, int start, int end, vector points){//+ 搜索所有起点，并计算起点到所有定点的距离 vector distances(graph.size(), -1); distances[start] = 0; for(int i = 0; i < p【回答】
tances[graph[points[i]][j]] == -1) //未计算距离 distances[graph[points[i]][j]] = distances[points[i]] + 1; else distances[graph[points[i]][j]] = min(distances[graph[points[i]][j]], distances[points[i]]+1); //比较累计距离与当前距离 points.erase(points.begin()); } return distances[end];} int main(){//+ 连通关系表示为无向图的邻接表 vector graph = {{1,3,4}, {0,2,3}, {1},【回答】
nd = 2; vector points = {1}; cout << Floyd(graph, start, end, points) << endl; return 0;}该算法本质上是一种暴力算法，其时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)，若要使用其他算法，可以使用贝尔曼-福德算法、弗洛伊德-科尔斯卡尔算法等进行改进。【回答】
那个loyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度和空间复杂度的过程的时间复杂度不是o（n^3）吗【提问】
计算过程说一下【提问】
亲，以上有解释呢【回答】
loyd(弗洛伊德)算法求多段图最短路径（动态规划）的时间复杂度和空间复杂度的计算过程【提问】
亲，您好，很高兴为您解答,弗洛伊德（Floyd）算法求多段图的最短路径是一种动态规划的算法，它允许我们利用较小的子问题来求解大问题，从而节约时间。时间复杂度的计算过程中，最外层的循环是遍历所有的顶点，并且每次循环都会更新当前顶点到其他各顶点的最短距离，因此总共要遍历n次，而每次遍历有n个顶点，因此时间复杂度为O(n^3)。空间复杂度计算过程中，首先需要间接存储每个顶点到其他顶点的距离，这个需要 O(n^2) 的空间，另外需要记录中间顶点，这个需要O(n^2)的空间，因此总的空间复杂度为O(n^2)。 值得注意的是，Floyd算法可以解决多段图的最短路径，也可以用于有向图的传输问题，例如传播最快算法和最大流量算法，这就意味着只要把有向图的边权重当作成本，就可以用Floyd算法求解传播问题，像求流量最大的路径和传播信息最快的路径等等。【回答】
最短路径 - Dijkstra算法
算法每次都查找距离起始点最近的点，那么剩下的点距离起始点的距离一定比当前点大。
1.选定A节点并初始化，如上述步骤3所示
2.执行上述 4、5两步骤，找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合，并根据条件 if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 来更新U集合
3.这时候 A->B, A->C 都为3，没关系。其实这时候他俩都是最短距离，如果从算法逻辑来讲的话，会先取到B点。而这个时候 if 条件变成了 if ( 'B 到 C,E 的距离' + 'AB 距离' B距离 其实为 A->D->B
思路就是这样，往后就是大同小异了
算法结束
（图片来源于网络）
Dijkstra算法保证能找到一条从初始点到目标点的最短路径，只要所有的边都有一个非负的代价值。在上图中，粉红色的结点是初始结点，蓝色的是目标点，而类菱形的有色区域则是Dijkstra算法扫描过的区域。颜色最淡的区域是那些离初始点最远的，因而形成探测过程（exploration）的边境（frontier）。因而Dijkstra算法可以找到一条最短的路径，但是效率上并不高。
数据结构--Dijkstra算法最清楚的讲解
dijkstra算法求最短路径
dijkstra算法求最短路径方法如下：1、选定A节点并初始化，如上述步骤3所示2、执行上述 4、5两步骤，找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合，并根据条件 if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 来更新U集合。3、这时候 A->B, A->C 都为3，没关系。其实这时候他俩都是最短距离，如果从算法逻辑来讲的话，会先取到B点。而这个时候 if 条件变成了 if ( 'B 到 C,E 的距离' + 'AB 距离' B距离 其实为 A->D->B。Dijkstra算法保证能找到一条从初始点到目标点的最短路径，只要所有的边都有一个非负的代价值。在上图中，粉红色的结点是初始结点，蓝色的是目标点，而类菱形的有色区域则是Dijkstra算法扫描过的区域。颜色最淡的区域是那些离初始点最远的，因而形成探测过程（exploration）的边境（frontier）。因而Dijkstra算法可以找到一条最短的路径，但是效率上并不高。数据结构--Dijkstra算法最清楚的讲解。
最短路径 | 深入浅出Dijkstra算法（一）
上次我们介绍了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 最短路算法 ，它可以方便的求得 任意两点的最短路径， 这称为 “多源最短路”。 这次来介绍 指定一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径， 也叫做 “单源最短路径”。 例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。 与 Floyd-Warshall 算法一样，这里仍然 使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系， 初始值如下。 我们还需要用 一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程， 我们可以称 dis 数组为 “距离表”， 如下。 我们将此时 dis 数组中的值称为 最短路的“估计值”。 既然是 求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程， 那就 先找一个离 1 号顶点最近的顶点。 通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。 当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”， 即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。 为什么呢？你想啊， 目前离 1 号顶点最近的是 2 号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。 因此 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短，对吧 O(∩_∩)O~ 既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点 有哪些 出边 呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。 先讨论 通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。 也就是说现在来比较 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程，e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点，再通过 2->3 这条边，到达 3 号顶点的路程。 我们发现 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做 “松弛” 。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3]，通过 2->3 这条边 松弛成功。 这便是 Dijkstra 算法的主要思想： 通过 “边” 来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。 同理通过 2->4（e[2][4]），可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4（dis[4]初始为 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新为 4）。 刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为： 接下来，继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点。通过上面更新过 dis 数组，当前离 1 号顶点最近是 4 号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边（4->3，4->5 和 4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为： 继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 3 号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为： 继续在剩下的 5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 5 号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为： 最后对 6 号顶点的所有出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边，因此不用处理。 到此，dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。 最终 dis 数组如下，这便是 1 号顶点到其余各个顶点的最短路径。 OK，现在来总结一下刚才的算法。 Dijkstra算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是 1 号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。 基本步骤如下： 在 博客 中看到两个比较有趣的问题，也是在学习Dijkstra时，可能会有疑问的问题。 当我们看到上面这个图的时候，凭借多年对平面几何的学习，会发现在“三角形ABC”中，满足不了 构成三角形的条件(任意两边之和大于第三边)。 纳尼，那为什么图中能那样子画？ 还是“三角形ABC”，以A为起点，B为终点，如果按照平面几何的知识， “两点之间线段最短”， 那么，A到B的最短距离就应该是6(线段AB)，但是，实际上A到B的最短距离却是3+2=5。这又怎么解释？ 其实，之所以会有上面的疑问，是因为 对边的权值和边的长度这两个概念的混淆， 。之所以这样画，也只是为了方便理解（每个人写草稿的方式不同，你完全可以用别的方式表示，只要便于你理解即可）。 PS：数组实现邻接表可能较难理解，可以看一下 这里 参考资料： Dijkstra算法是一种基于贪心策略的算法。每次新扩展一个路程最短的点，更新与其相邻的点的路程。当所有边权都为正时，由于不会存在一个路程更短的没扩展过的点，所以这个点的路程永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。 根据这个原理， 用Dijkstra算法求最短路径的图不能有负权边， 因为扩展到负权边的时候会产生更短的路径，有可能破坏了已经更新的点路径不会发生改变的性质。 那么，有没有可以求带负权边的指定顶点到其余各个顶点的最短路径算法（即“单源最短路径”问题）呢？答案是有的， Bellman-Ford算法 就是一种。（我们已经知道了 Floyd-Warshall 可以解决“多源最短路”问题，也要求图的边权均为正） 通过 邻接矩阵 的Dijkstra时间复杂度是 。其中每次找到离 1 号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N)，这里我们可以用 优先队列（堆） 来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到 。这个我们将在后面讨论。
