康托尔实数理论的要点是什么?
康托尔实数理论的要点是集合论和逊于穷数理论。实数理论的定义：为了对实数连续统进行严格描述而产生的理论。实数理论的产生源于对微积分的理论基础严密化的追求，人类早期对实数的认识仅仅局限于应用，对无理数的本质认识是不清楚的，并没有严格的定义，微积分诞生之后，随着对变量与函数的认识逐渐清晰，出于严密化的需要，先后诞生了极限理论、实数理论。实数理论是分析基础的三大部分之一，另外两个部分是极限理论、变量与函数。极限理论是数学分析的基本研究方法，而变量与函数是数学分析的基本研究对象。实数理论的成功建立，使得分析基础形成了一个完整的体系，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成，从而第二次数学危机也在真正的意义上得到了解决。康托尔实数的局限性：1、—个实数能在每—个集合论模型中出现的充分必要条件是它是可以被集合论来定义的.那些在集合论模型中不出现的实数,我们可以把他们叫做看不见的实数。2、在实数的十进位无穷小数表示法中有些是我们能确切地知道它的第几位是什么,但是对另外的一些实数我们对它们就只能有模糊的认识,也就是说它的第几位是什么我们不可能全部知道.我们可以把他们叫做写不出的实数。3、由于Cantor关于实数是不可数的证明不是构造性的证明,而是用所谓的归谬证法.它们中有很多是看不见写不出的实数.因此说它们是虚拟的实数。4、虚拟实数就像银行中的虚拟货币,你可用它来买东西,它可从—个户头转拨到另—个户头,但是钱的实体是不存在的.这个现象也让我们对某些数学工具的合法性挺出质疑.我们用对角线法来证明实数的基数比自然数的基数大。但是我们并没有真正有效的地构造出那么多的实数.因此我们没有办法来确切地定义它们.也可以说它们中的绝大多数是不可以定义的.在一般的情况下虚拟实数是不可以个别地使用的。
康托尔的实数的定义反应了实数哪方面的性质?()
完备性。康托集是指著名的康托尔完全集，属于高等数学是这样构成的：给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2/3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、（7/9，8/9），剩下[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9]、[8/9,1]，如此继续下去直至无穷，那么最终剩下的集合的测度可用下式计算：1-（1/3+2/9+4/27+……）=1-（1/3）/（1-2/3）=0康托尔由此得出，剩下的集合是测度为0的连续基数集，这就是康托尔完全集。有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且．2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．
