模糊数学评价模型
综合评价是综合考虑受多种因素影响的事物或系统对其进行总的评价，当评价因素具有模糊性时，则被称为模糊综合评价。基坑降水环境影响模糊综合评价模型的构建步骤如下：（1）确定评价集和因子集评价单元的评价指标集合基坑降水工程的环境效应与评价方法其中：u1，u2，...u9为参与评价的9个环境因子的性状数据。环境质量的判断集，即评价结果（评语）组成的集合为：基坑降水工程的环境效应与评价方法其中：v1，v2，v3，v4分别代表评价等级为Ⅰ～Ⅳ级。在环境质量的分级评价中，U是一个模糊向量，而V则是一个矩阵，V为U相应的评价标准的集合。在U和V都给定以后因素论域（环境因子）与评语论域（评价标准）之间的模糊关系可以用模糊关系矩阵R来表示：基坑降水工程的环境效应与评价方法根据模糊关系的定义，rij表示第i个评价因子的环境质量数值可以被评为第j级环境质量的可能性即i对于j的隶属度。因此，模糊关系矩阵R中的第i行，实际上代表了第i个评价因子对各级环境质量标准的隶属性；而模糊关系矩阵中的第j列，则代表了各个评价因子对第j级环境质量标准的隶属性。（2）评价因子分级标准的确定评价标准的划分都是一个区间值。对于第Ⅰ级的环境质量标准值作为其代表值，记为e（Ⅰ）；对第Ⅱ级取第Ⅰ级和第Ⅱ级环境质量标准值的平均值作为代表值，记为e（Ⅱ），其余类推。分级代表值是确定环境因子性状数据的隶属度的基础。有了分级代表值后，可以根据实际环境因子的性状数据来计算其隶属度。环境质量标准的划分有时候也采用特征值的办法，每一级预先给定一个数值作为该级标准的代表值，相当于直接给出了评价标准分级代表值。（3）隶属函数的确定隶属函数的确定方法有很多种。如矩形分布隶属函数、正态型分布隶属函数、柯西分布隶属函数、梯形分布隶属函数等。在地质环境评价实际工作中，梯形分布的隶属函数应用最为广泛，本次模型的建立也采用了梯形分布隶属函数。其隶属函数关系式如下：基坑降水工程的环境效应与评价方法基坑降水工程的环境效应与评价方法式中u1（x），u2（x），u3（x），u4（x）为环境因子x对一级、二级、三级、四级环境质量标准的隶属度。环境质量级别的隶属度矩阵C：基坑降水工程的环境效应与评价方法
（一）模糊数学相关概念和模糊评价模型
1.相关定义设 是论域X到［0，1］的一个映射，即 ：X→［0，1］，x→ （x）。 称是X上的模糊集，而函数 （.）称为模糊数学集 的隶属函数， （x）称为x对模糊集 的隶属度。2.模糊评判的基本要素应用模糊数学方法解决综合评判问题，要求所讨论的问题具有以下特征：即评判客体在概念上具有模糊性，评判主体在思维方法上具有多样性，评判结果在表达式上具有口语化的特征。这三点并称为模糊评判的三个基本要素。3.模糊评判模型的一般形式已知一个有限集合XX＝｛x1，x2，…，xn｝X中的元素xj（j＝1，2，…，n）表示评价对象又已知一个有限集合KKs＝｛k1，k2，…，kn｝K中的元素ki（i＝1，2，…，m）表示不同的评价指标令ui为第i个评价指标ki∈K的隶属函数，即ui＝μ（ki），ui∈［0，1］则U为一个有限的模糊子集，即U＝｛u1，u2，…，un｝所谓模糊评判问题的数学表达即是寻求一个模糊集合BB＝{b1，b2，…，bn｝，bj∈［0，1］B中元素bj表示第j个被评价对象的综合对象的综合评价指数。由于隶属函数uj适用于所有的评价对象xj，则可得到一个评价矩阵R称为模糊关系。即R：U×X→［0，1］R＝（rij）m×n＝（rm1，rm2，…，rmn）式中：rij＝R（xj，ui）∈［0，1］表示第i个评价因子对第j个评价等级的隶属度。给定一个模糊向量A＝｛a1，a2，…，am｝A中的元素ak（k＝1，2，…，m）表示第k个模糊算子相当于评价的权重，且胶东半岛海水入侵地区水资源高效利用与河口海岸生态修复技术有了评判矩阵R和权重矩阵A两个矩阵后，即可进行复合运算评判，可得模糊子集，记作B＝A×R＝（bj）n＝（b1，b2，…，bn）4.确定评价因子在模糊综合评价中，评价因子的选择至关重要。海水入侵研究中，水化学特征是判断海水入侵的直接依据。迄今为止多采用单一的指标分析。大多是以Cl-含量超过250mg/L作为海水入侵标准。但是在海水入侵过程中，影响判断海水入侵程度的因子众多，在不同的评价区域、不同的评价时段内，各因子主次关系也不同，评价是很难将所有因子全面考虑。鉴于此，本着评价指标的系统性、客观性和可操作性的原则。选取了五个指标（Cl-，TDS， ， /rCl-和SAR）作为评价海水入侵程度的综合指标。即因数集u＝｛u1，u2，u3，u4，u5｝＝｛Cl-，TDS， ， /rCl-，SAR｝Cl-：海水中最稳定常量元素，且测量比较简单，故作为首选指标；TDS（溶解性总固体）：溶解性总固体是指水中所含各种离子、分子及化合物的总量，是地下水化学成分的重要标志。 ：属于微量元素，在海水中较稳定，而陆地地下淡水中含量较少，受到浸染后，其含量随海水入侵程度的发展变化较为敏感。]] /rCl-： 和Cl-作为淡水和海（咸）水中的特征阴离子，其离子比 /rCl-（r表示毫摩尔）能清楚反映两种水体的差异。]]＋是海水中首要的阳离子，其含量比淡水要高出2～4个数量级。美国盐渍土实验室提出的SAR来衡量灌溉水质的钠危害程度。其表达式为胶东半岛海水入侵地区水资源高效利用与河口海岸生态修复技术5.确定评语集被浸染的水体依其程度轻重分为淡水、微咸水、咸水，各项化学指标及其动态多在较高浸染水平上趋于钝化，所以为突出反映海水入侵前缘的变化，应该在其过渡带（微咸水）加以细化。因此，将海水入侵程度分为四级：无或轻度Ⅰ级（淡水）、轻度浸染Ⅱ级（微咸水），较严重浸染Ⅲ级（微咸水）、严重浸染Ⅳ级（咸水），即评语集：v＝｛v1，v2，v3，v4｝＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝6.评价指标数据来源与指标的量化2011年枯水期，我们在烟台市选取典型地点进行水质监测。Cl-的等级量化主要依据世界卫生组织制定的饮水标准确定；TDS采用我国现行通用的淡水至咸水的溶解性总固体指标值； 、 、rCl-和SAR的量化值，依据烟台市65个观测井的实测水样分析资料，以Cl-含量为参照对四个指标的分布范围及其平均值进行统计分析，结果见表2-3。7.隶属函数确定建立评判矩阵的关键是确定隶属函数，这里选用比较成熟的线性隶属函数：用降半梯形型和升半梯形型隶属函数形式求两端等级的隶属度；用对称山型隶属函数形式求中间等级的隶属度。表2-3 海水入侵指标的等级划分（1）正降半梯形隶属函数对于数值越大等级越高的评价因子（Cl-，TDS， ，SAR）；采取正降半梯形隶属函数，如图2-6所示。图2-6 正降半梯形隶属函数胶东半岛海水入侵地区水资源高效利用与河口海岸生态修复技术（2）反降半梯形隶属函数对于数值越大等级越低的评价因子i（ /rCl-），其隶属函数采用如图2-7所示的反降半梯形隶属函数：图2-7 反降半梯形隶属函数胶东半岛海水入侵地区水资源高效利用与河口海岸生态修复技术8.评判矩阵R（评判因子与评价等级之间的模糊关系）依据上述隶属函数，分别求其相应各级的隶属度rij（i＝1，2，3，4），并确定各因子的模糊关系矩阵R，取U和V分别为评价因子集合与海水入侵程度分级的集合，将数据一一代入各个具体的隶属函数中，可计算出模糊矩阵R如下：胶东半岛海水入侵地区水资源高效利用与河口海岸生态修复技术9.建立评价因子间的模糊关系本模型将采用超标指数赋权法，但将权值归一化，这样既突出了海水入侵程度评价中主要指标的作用，又考虑了不同指标标准值的差异，计算简便。其数学表达式为胶东半岛海水入侵地区水资源高效利用与河口海岸生态修复技术式中：xi——各指标实测浓度，mg/L；ai——各指标各等级代表值，mg/L；si——各指标各等级代表值（ai）的算术平均值；n——分级数。对所求得各项指标权重进行归一化处理，即胶东半岛海水入侵地区水资源高效利用与河口海岸生态修复技术
模糊数学模型的模糊矩阵的运算及其性质
定义 6 设A (a ) ，B (b ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 都是模糊矩阵，ij m×n ij m×n定义i) 相等：A B ⇔a b ；ij ijii) 包含：A ≤B ⇔a ≤b ；ij ijiii) 并：A UB (a ∨b ) ；ij ij m×niv) 交：A IB (a ∧b )ij ij m×nv) 余：AC (1−a )ij m×n⎛ 1 0.1 ⎛0.7 0⎞ ⎞ 定义 7 设A (aik )m×s ，B (bkj )s×n ，称模糊矩阵A oB (c )ij m×n为A 与B 的合成，其中{ }cij max (aik ∧bkj ) 1≤k ≤s⎛ 1 0.7⎞⎛0.4 0.7 0 ⎞ ⎜ ⎟ 定义 8 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，称AT (aT ) 为A 的转ij m×n ji n×m置矩阵，其中aT a 。ji ij(4) 模糊矩阵的λ−截矩阵定义 9 设A (a ) ，对任意的λ∈[0,1] ，ij m×ni) 令1, a ≥λ(λ) ⎧⎪ ijaij ⎨0, a λ(λ) ⎧⎪ ijaij ⎨0, a ≤λ⎪⎩ ij则称 (λ) λAλ (aij )m×n 为模糊矩阵A 的 强截矩阵。·显然，对于任意的λ∈[0,1] , λ截矩阵是布尔矩阵。⎛ 1 0.5 0.2 0 ⎞⎜ ⎟⎜0.5 1 0.1 0.3 ⎟ 性质 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 是模糊自反矩阵(对角线上的元ij m×n素 Irij 都为 1 的模糊矩阵)， 是n 阶单位矩阵，则I ≤R ≤R 2证：因为A (a ) 是模糊自反矩阵，即有rii 1，所以I ≤R ，又ij m×n{ }max (aik ∧akj ) 1≤k ≤n ≥rii ∧rij rij即有R ≤R 2 。
模糊数学模型的基本概念
定义 1 论域X 到[0,1] 闭区间上的任意映射μ ：X →[0,1]x →μ (x)都确定X 上的一个模糊集合A ，μ 叫做A 的隶属函数，μ (x) 叫做x 对模糊集A 的隶属度，记为：{(x,μ (x)) | x ∈X }使μ (x) =0.5 的点x 称为模糊集A 的过渡点，此点最具模糊性。显然，模糊集合A 完全由隶属函数μ 来刻画，当μ (x) {0,1} 时，A 退化为一个普通集。 常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy 集之间的运算。定义2 对于论域X 上的模糊集A ，B ，其隶属函数分别为μ1(x) ，μ2(x) 。A Bi) 若对任意x ∈X ，有μ1(x) ≤μ2(x) ，则称A 包含B ，记为B ⊆A ；B Aii) 若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记为A B 。定义3 对于论域X 上的模糊集A ，B ，i) 称Fuzzy 集C A UB ，D A IB 为A 与B 的并（union ）和交（intersection ），即C (A UB)(x) max{A(x),B(x)} A(x) ∨B(x)D (A IB(x) min{A(x),B(x)} A(x) ∧B(x)他们相应的隶属度μ (x),μ (x) 被定义为C Dμ (x) max{μ (x),μ (x)}C A Bμ (x) min{μ (x),μ (x)}D A Bii) Fuzzy 集AC 为A 的补集或余集(complement)，其隶属度μ (x) 1−μ (x)AC A
