四边形蝶形定理问题
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 梯形蝴蝶定理[1]
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
折叠编辑本段基本公式
梯形蝴蝶定理
如图，在梯形中，存在以下关系：
(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S3=a^2/b^2
（2）S1︰S3︰S2︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab ；
（3）S2=S4 ；
（4）S1×S3=S2×S4(由S1/S2=S4/S3推导出)
(5) AO：CO=(S1+S2)：(S3+S4)
蝶形定理
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发现了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。另外一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。2. 圆可以改为任意圆锥曲线。3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立。以下是证明过程如图，过Y作EF//AD，交DC的延长线于E，交AB于F。∵ ∠ADE = ∠ABC，又 ∠ADE = ∠FED （内错角相等）∴ ∠ABC = ∠FED∴ C,E,B,F 四点共圆由相交弦定理可得 EY × YF = BY × YC显然 ΔAMD ∽ ΔFME , ΔAMX ∽ ΔFMY , ΔXMD ∽ ΔYME∴ MX² : (AX × XD) = MY² : (EY × YF) = MY² : (BY × YC)由相交弦定理可得 AX × XD = PX × XQ , BY × YC = PY × YQ∴ MX² : (MX² + PX × XQ) = MY² : (MY² + PY × YQ)∵ MX² + PX × XQ = (PM - PX)² + PX × (2PM - PX) = PM²MY² + PY × YQ = (MQ - YQ)² + PY × (2QM - PY) = QM²∴ MX² : PM² = MY² : MQ² , MX : PM = MY : MQ又 PM = MQ∴ MX = MY , 得证
