模糊集合的基本运算定义
模糊集合的基本运算定义是一种基于“真实度”而不是现代计算机所基于的“对或错”（1或0）布尔逻辑的计算方法。资料扩展：模糊集合是用来表达模糊性概念的集合。 又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。1965年美国学者扎德在数学上创立了一种描述模糊现象的方法—模糊集合论。这种方法把待考察的对象及反映它的模糊概念作为一定的模糊集合，建立适当的隶属函数，通过模糊集合的有关运算和变换，对模糊对象进行分析。模糊集合论以模糊数学为基础，研究有关非精确的现象。客观世界中，大量存在着许多亦此亦彼的模糊现象。这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，例如年轻、很大、暖和、傍晚等。这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。这一概念是美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.扎德于 1965 年首先提出的。模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合论（中国通常称为模糊性数学)的基础。
模糊集合的运算
模糊集合的运算如下：设A和B是模糊集，A,B⊆U，u是U宇宙中的任何元素（如值）：u∈U。标准补数一般来说，三联体（i,u,n）被称为DeMorgan三联体，如果i是一个t规范，u是一个t规范（又称s规范）。n是一个强否定式，因此，对于所有x,y∈[0,1]，以下情况成立。(广义的DeMorgan关系)。这意味着下面详细提供的公理。模糊补体μA(x)被定义为x属于A的程度。让∁A表示类型为c的A的模糊补体，那么μ∁A(x)是x属于∁A的程度，以及x不属于A的程度（因此μA（x）是x不属于∁A的程度）。让一个补充∁A由一个函数定义c:[0,1]→[0,1]对于所有x∈U：μ∁A(x)=c(μA(x))。模糊补充的公理：公理c1.边界条件c(0)=1，c(1)=0公理c2.单调性对于所有a，b∈[0，1]，如果ac（b）公理c3.连续性c是连续函数。公理c4.内卷c是一个内卷，这意味着对于每个a∈[0,1]，c(c(a))=ac是一个强否定者（又称模糊补充）。一个满足公理c1和c3的函数c至少有一个fixpointa*，c(a*)=a*，如果公理c2也得到满足，则正好有一个这样的fixpoint。对于标准的否定子c(x)=1-x，xxx的费点是a*=0.5。
模糊数学模型的模糊矩阵的运算及其性质
定义 6 设A (a ) ，B (b ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 都是模糊矩阵，ij m×n ij m×n定义i) 相等：A B ⇔a b ；ij ijii) 包含：A ≤B ⇔a ≤b ；ij ijiii) 并：A UB (a ∨b ) ；ij ij m×niv) 交：A IB (a ∧b )ij ij m×nv) 余：AC (1−a )ij m×n⎛ 1 0.1 ⎛0.7 0⎞ ⎞ 定义 7 设A (aik )m×s ，B (bkj )s×n ，称模糊矩阵A oB (c )ij m×n为A 与B 的合成，其中{ }cij max (aik ∧bkj ) 1≤k ≤s⎛ 1 0.7⎞⎛0.4 0.7 0 ⎞ ⎜ ⎟ 定义 8 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，称AT (aT ) 为A 的转ij m×n ji n×m置矩阵，其中aT a 。ji ij(4) 模糊矩阵的λ−截矩阵定义 9 设A (a ) ，对任意的λ∈[0,1] ，ij m×ni) 令1, a ≥λ(λ) ⎧⎪ ijaij ⎨0, a λ(λ) ⎧⎪ ijaij ⎨0, a ≤λ⎪⎩ ij则称 (λ) λAλ (aij )m×n 为模糊矩阵A 的 强截矩阵。·显然，对于任意的λ∈[0,1] , λ截矩阵是布尔矩阵。⎛ 1 0.5 0.2 0 ⎞⎜ ⎟⎜0.5 1 0.1 0.3 ⎟ 性质 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 是模糊自反矩阵(对角线上的元ij m×n素 Irij 都为 1 的模糊矩阵)， 是n 阶单位矩阵，则I ≤R ≤R 2证：因为A (a ) 是模糊自反矩阵，即有rii 1，所以I ≤R ，又ij m×n{ }max (aik ∧akj ) 1≤k ≤n ≥rii ∧rij rij即有R ≤R 2 。
模糊数学模型的基本概念
定义 1 论域X 到[0,1] 闭区间上的任意映射μ ：X →[0,1]x →μ (x)都确定X 上的一个模糊集合A ，μ 叫做A 的隶属函数，μ (x) 叫做x 对模糊集A 的隶属度，记为：{(x,μ (x)) | x ∈X }使μ (x) =0.5 的点x 称为模糊集A 的过渡点，此点最具模糊性。显然，模糊集合A 完全由隶属函数μ 来刻画，当μ (x) {0,1} 时，A 退化为一个普通集。 常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy 集之间的运算。定义2 对于论域X 上的模糊集A ，B ，其隶属函数分别为μ1(x) ，μ2(x) 。A Bi) 若对任意x ∈X ，有μ1(x) ≤μ2(x) ，则称A 包含B ，记为B ⊆A ；B Aii) 若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记为A B 。定义3 对于论域X 上的模糊集A ，B ，i) 称Fuzzy 集C A UB ，D A IB 为A 与B 的并（union ）和交（intersection ），即C (A UB)(x) max{A(x),B(x)} A(x) ∨B(x)D (A IB(x) min{A(x),B(x)} A(x) ∧B(x)他们相应的隶属度μ (x),μ (x) 被定义为C Dμ (x) max{μ (x),μ (x)}C A Bμ (x) min{μ (x),μ (x)}D A Bii) Fuzzy 集AC 为A 的补集或余集(complement)，其隶属度μ (x) 1−μ (x)AC A
