近世代数的内容
近世代数内容包括：
整数、多项式、实数、复数、矩阵代数、线性群、行列式和标准型、布尔代数和格、超限算术、环和理想、代数数域和伽罗华理论等。
近世代数简介：
近世代数即抽象代数。 代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程组是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
近世代数是谁创立的？
伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的概念的数学家，一般称他为近世代数创始人。
抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的概念的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。
抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。
近世代数理论基础19：环的分类
定义：若环R是含幺、交换、无零因子环,则称R为整环
例： , 是整环, , 不是整环,
注：整环是无零因子环,消去律成立
设R为含幺环, ,若 ,使 ,则称a为可逆元,易证,若 是可逆元,则满足条件 的b是唯一的,称为a的逆元,记作$a^{-1},若a是可逆元,则a不可能是左(右)零因子
定理：设R为含幺环,令 为环R中所有可逆元所成的集合,则 在环R中乘法的意义下构成群
证明：
例：
1.整数模n的剩余类环 ,由可逆元的定义
即 ,
易证,在环 中,只有 是可逆元,且 , , ,
2.设F是域,在矩阵环 中,一个n阶方阵A是可逆元 ,所有n阶可逆矩阵的集合记作 ,称为一般线性群
定义：设R是一个至少包含两个元的含幺环,若R中任一非零元都是可逆元,则称R为除环,若R为交换的除环,则称R为域
例：设p为一个素数,则 为域
显然, 是含幺交换环, ,p是素数,a与p互素, 为可逆元
中只有有限个元,称为有限域
有限域在密码和编码中有重要应用
例：设 , , ,
令 ,则H关于矩阵的加法和乘法构成一个非交换的除环
易知H中的元可表成
由矩阵的定义,H的任一元有且只有一种方法写成 的形式,H上的加法和乘法分别定义为矩阵的加法和乘法
易证 之间的乘法运算满足：
易证H对矩阵的加法和乘法构成一个环,e是乘法的单位元
且H中每个非零元都有逆元
设 , ,则H中的元可表成
其中, 分别表示 的共轭复数
设 ,则 不全为零,x的行列式为
,故x有逆元,且
故H是一个除环,称为实四元数除环
H中的乘法不符合交换了,H不是域
设R是一个环,则 是交换群,设 ,则a关于加法有一个阶 ,或无限大,或是有限整数
若a在加群 中的阶为一个有限整数m,则
例：在环 中, 的加法阶为3,即
同理, 的加法阶为2,即在环R中,不同元的加法阶不一定相同
定理：设 是无零因子环,则R中每一个非零元的加法阶都相同,要么同为无限大,要么同为素数
证明：
定义：设R是无零因子环,当R中非零元的加法阶为无限时,则称R的特征为0,当R中非零元的加法阶为素数p时,则称R的特征为p,环R的特征简写作
若 ,则对R中任意非零元a, ,与数的运算规律一致
在含幺元的无零因子环中,用单位元1判断R的特征
例： , , , ,一般,设p为素数,则有限域 的特征为p
